橢圓的定義及幾何性質(zhì)

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1、橢圓【教學(xué)目標(biāo)】（1）掌握橢圓的定義（2）掌握橢圓的幾何性質(zhì)（3）掌握求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【教學(xué)重難點】（1）橢圓的離心率有關(guān)的問題（2）橢圓焦點三角形面積的求法【教學(xué)過程】一、知識點梳理知識點一：橢圓的定義　　平面內(nèi)一個動點到兩個定點、的距離之和等于常數(shù)()，這個動點的軌跡叫橢圓。這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點的距離叫作橢圓的焦距?！　∽⒁猓喝?，則動點的軌跡為線段；　　　　　若，則動點的軌跡無圖形。知識點二：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程　　1．當(dāng)焦點在軸上時，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中；　　2．當(dāng)焦點在軸上時，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方

2、程：，其中；注意：　　1．只有當(dāng)橢圓的中心為坐標(biāo)原點，對稱軸為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系時，才能得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；　　2．在橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，都有和；　　3．橢圓的焦點總在長軸上.當(dāng)焦點在軸上時，橢圓的焦點坐標(biāo)為，；當(dāng)焦點在軸上時，橢圓的焦點坐標(biāo)為，。知識點三：橢圓的簡單幾何性質(zhì)　　橢圓的的簡單幾何性質(zhì)（1）對稱性　　對于橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，把x換成―x，或把y換成―y，或把x、y同時換成―x、―y，方程都不變，所以橢圓是以x軸、y軸為對稱軸的軸對稱圖形，且是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，這個對稱中心稱為橢

3、圓的中心。講練結(jié)合：（2）范圍　　橢圓上所有的點都位于直線x=±a和y=±b所圍成的矩形內(nèi)，所以橢圓上點的坐標(biāo)滿足

4、x

5、≤a，

6、y

7、≤b。（3）頂點　?、贆E圓的對稱軸與橢圓的交點稱為橢圓的頂點?！　、跈E圓（a＞b＞0）與坐標(biāo)軸的四個交點即為橢圓的四個頂點，坐標(biāo)分別為A1（―a，0），　　　A2（a，0），B1（0，―b），B2（0，b）?！　、劬€段A1A2，B1B2分別叫做橢圓的長軸和短軸，

8、A1A2

9、=2a，

10、B1B2

11、=2b。a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。（4）離心率　　①橢圓的焦距與長軸

12、長度的比叫做橢圓的離心率，用e表示，記作?！　、谝驗閍＞c＞0，所以e的取值范圍是0＜e＜1。e越接近1，則c就越接近a，從而越小，因此橢圓越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，從而b越接近于a，這時橢圓就越接近于圓。當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，c=0，這時兩個焦點重合，圖形變?yōu)閳A，方程為x2+y2=a2橢圓的圖像中線段的幾何特征（如下圖）：　　　　　　　?。?），，；　?。?），，；?。?）,，；知識點四：橢圓與（a＞b＞0）的區(qū)別和聯(lián)系標(biāo)準(zhǔn)方程圖形性質(zhì)焦點，，焦距范圍，，對稱性關(guān)于x軸、y軸和原點對稱頂點，

13、，軸長軸長=，短軸長=離心率準(zhǔn)線方程焦半徑，，注意：橢圓，（a＞b＞0）的相同點為形狀、大小都相同，參數(shù)間的關(guān)系都有a＞b＞0和，a2=b2+c2；不同點為兩種橢圓的位置不同，它們的焦點坐標(biāo)也不相同。二、考點分析考點一：橢圓的定義【例1】方程化簡的結(jié)果是。【例2】已知F1(-8，0)，F(xiàn)2(8，0)，動點P滿足

14、PF1

15、+

16、PF2

17、=16，則點P的軌跡為（）A圓B橢圓C線段D直線【變式訓(xùn)練】已知橢圓=1上的一點P到橢圓一個焦點的距離為3,則P到另一焦點距離為。考點二：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【例3】若橢圓經(jīng)過點

18、(5，1)，(3，2)則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為。【例4】的底邊，和兩邊上中線長之和為30，求此三角形重心的軌跡和頂點的軌跡．【例5】求以橢圓的焦點為焦點，且經(jīng)過點的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【變式訓(xùn)練】1、焦點在坐標(biāo)軸上，且，的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為。2、焦點在軸上，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為。3、已知三點P（5，2）、（－6，0）、（6，0），求以、為焦點且過點P的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；4、已知點在以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓上，點到兩焦點的距離分別為和，過點作焦點所在軸的垂線，它恰好過橢圓的一個焦點，求橢圓方程．考點三：利用標(biāo)準(zhǔn)方程確定參

19、數(shù)【例6】若方程+=1（1）表示圓，則實數(shù)k的取值是.（2）表示焦點在x軸上的橢圓，則實數(shù)k的取值范圍是.（3）表示焦點在y型上的橢圓，則實數(shù)k的取值范圍是.（4）表示橢圓，則實數(shù)k的取值范圍是.【例7】橢圓的長軸長等于，短軸長等于,頂點坐標(biāo)是,焦點的坐標(biāo)是,焦距是，離心率等于?！咀兪接?xùn)練】1、橢圓的焦距為，則=。2、橢圓的一個焦點是，那么?？键c四：離心率的有關(guān)問題一、求離心率1、用定義（求出a,c或找到c/a）求離心率（1）已知橢圓:的兩個焦點分別為,且橢圓經(jīng)過點.則橢圓的離心率。（2）設(shè)是橢圓的左、

20、右焦點，為直線上一點，是底角為的等腰三角形，則的離心率為（）（3）橢圓（a＞b＞0）的左、右頂點分別是A,B,左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2。若

21、AF1

22、，

23、F1F2

24、，

25、F1B

26、成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為_______________.（4）在給定的橢圓中，過焦點且垂直于長軸的弦長為，焦點到相應(yīng)準(zhǔn)線距離為1，則該橢圓的離心率為。2、根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)造a、c的齊次式方程，解出e。（1）若一個橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓