彈性力學(xué)逆解法和半逆解法多項式解法

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1、彈性力學(xué)朱明禮njzhu2004@163.com第三節(jié)位移分量的求出第四節(jié)簡支梁受均布荷載第五節(jié)楔形體受重力和液體壓力例題第一節(jié)逆解法與半逆解法多項式解答第二節(jié)矩形梁的純彎曲第三章平面問題的直角坐標(biāo)解答§3－1逆解法和半逆解法多項式解法當(dāng)體力為常量，按應(yīng)力函數(shù)求解平面應(yīng)力問題時，應(yīng)滿足按求解⑶多連體中的位移單值條件。(c)⑵S=上應(yīng)力邊界條件,⑴A內(nèi)相容方程對于單連體，(c)通常是自然滿足的。只須滿足(a),(b)。由求應(yīng)力的公式是(d)2.逆解法──先滿足(a),再滿足(b)。步驟:(e)逆解法⑴先找出滿足的解⑶在給定邊界形狀S下，由式(b)反推出各邊界上的面力，⑵代入(d),求出

2、從而得出，在面力(e)作用下的解答，就是上述和應(yīng)力。逆解法逆解法沒有針對性，但可以積累基本解答。例2二次式，分別表示常量的應(yīng)力和邊界面力。如圖示。例1一次式對應(yīng)于無體力，無面力，無應(yīng)力狀態(tài)。故應(yīng)力函數(shù)加減一次式，不影響應(yīng)力。逆解法2a2aoyxoyxoyxbbbb2c2c⑶代入，解出；3.半逆解法步驟：半逆解法⑵由應(yīng)力(d)式，推測的函數(shù)形式；⑴假設(shè)應(yīng)力的函數(shù)形式（根據(jù)受力情況，邊界條件等）；⑷由式（d），求出應(yīng)力；半逆解法⑸校核全部應(yīng)力邊界條件（對于多連體，還須滿足位移單值條件）。如能滿足，則為正確解答；否則修改假設(shè)，重新求解。思考題半逆解法1.在單連體中，應(yīng)力函數(shù)必須滿足哪些條件

3、？逆解法和半逆解法是如何滿足這些條件的？2.試比較逆解法和半逆解法的區(qū)別。§3-2矩形梁的純彎曲梁l×h×1，無體力，只受M作用（力矩/單寬，與力的量綱相同）。本題屬于純彎曲問題。問題提出h/2h/2lyx(l>>h)oMM⑴由逆解法得出，可取，且滿足⑵求應(yīng)力(a)求解步驟：本題是平面應(yīng)力問題,且為單連體，若按求解，應(yīng)滿足相容方程及上的應(yīng)力邊界條件。⑶檢驗應(yīng)力邊界條件，原則是:邊界條件b.后校核次要邊界（小邊界），若不能精確滿足應(yīng)力邊界條件，則應(yīng)用圣維南原理，用積分的應(yīng)力邊界條件代替。a.先校核主要邊界（大邊界），必須精確滿足應(yīng)力邊界條件。主要邊界從式(a)可見，邊界條件(b)均滿足

4、。滿足。主要邊界次要邊界x=0,l,(c)的邊界條件無法精確滿足。次要邊界用兩個積分的條件代替當(dāng)時，即使在邊界上面力不同于的分布，其誤差僅影響梁的兩端部分上的應(yīng)力。式(d)的第一式自然滿足，由第二式得出最終得應(yīng)力解(e)如果區(qū)域內(nèi)的平衡微分方程已經(jīng)滿足，且除了最后一個小邊界外，其余的應(yīng)力邊界條件也都分別滿足。則我們可以推論出，最后一個小邊界上的三個積分的應(yīng)力邊界條件（即主矢量、主矩的條件）必然是滿足的，因此可以不必進(jìn)行校核。試對此結(jié)論加以說明。思考題§3-3位移分量的求出在按應(yīng)力求解中，若已得出應(yīng)力，如何求出位移？以純彎曲問題為例，已知試求解其位移。問題提出1.由物理方程求形變求形變

5、2.代入幾何方程求位移求位移⑴對式(a)兩邊乘積分,⑵對式(b)兩邊乘積分,求位移⑶再代入(c),并分開變量，上式對任意的x,y都必須成立，故兩邊都必須為同一常量。求位移由此解出求位移得出位移為3.待定的剛體位移分量，須由邊界約束條件來確定。2.代入幾何方程，積分求；歸納：從應(yīng)力求位移步驟：3.由邊界約束條件確定確定剛體位移分量由物理方程求出形變；2.鉛直線的轉(zhuǎn)角故在任一截面x處，平面截面假設(shè)成立。純彎曲問題的討論：1.彎應(yīng)力與材料力學(xué)的解相同。3.縱向纖維的曲率同材料力學(xué)的結(jié)果。故在純彎曲情況下，彈性力學(xué)解與材料力學(xué)解相同。思考題2.試證明剛體位移實際上表示彈性體中原點的平移和轉(zhuǎn)動

6、分量，并應(yīng)用本節(jié)的解答加以驗證。提示：微分體的轉(zhuǎn)動分量為彈性力學(xué)中關(guān)于純彎曲梁的解答，與材料力學(xué)的解答在應(yīng)力、形變等方面完全一致。由此是否可以說在純彎曲情況下材料力學(xué)中的平截面假設(shè)成立？§3-4簡支梁受均布荷載簡支梁，受均布荷載及兩端支撐反力。。問題yxollh/2h/2現(xiàn)采用此假設(shè)。半逆解法按半逆解法求解。⑴假設(shè)應(yīng)力分量。由材料力學(xué)因為因為所以，可假設(shè)所以，可假設(shè)因為所以，可假設(shè)⑵由應(yīng)力分量推出應(yīng)力函數(shù)的形式。由對x積分，對x再積分，(a)半逆解法⑶將代入相容方程，求解:相容方程對于任何均應(yīng)滿足,故的系數(shù)均應(yīng)等于0，由此得三個常微分方程。半逆解法式(b)中已略去對于的一次式。將式(

7、b)代入式(a)，即得。(b)半逆解法解出:對稱性條件─由于結(jié)構(gòu)和荷載對稱于軸，故應(yīng)為的偶函數(shù)，為x的奇函數(shù)，故。⑷由求應(yīng)力。半逆解法在無體力下，應(yīng)力公式如書中式(f),(g),(h)所示。⑸考察邊界條件。由此解出系數(shù)A,B,C,D。主要邊界主要邊界次要邊界次要邊界由此解出H，K.另一次要邊界(x=-l)的條件，自然滿足。應(yīng)用圣維南原理，列出三個積分條件，最后應(yīng)力解答：應(yīng)力應(yīng)力的量級當(dāng)時,x~l同階，y~h同階.第一項同階,（與材料力學(xué)解同）;第二項同階,