常 微 分 方 程

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1、常微分方程一、可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程.解法為微分方程的解.例1求解微分方程解分離變量兩端積分典型例題齊次方程的微分方程稱為齊次方程.2.解法作變量代換代入原式可分離變量的方程1.定義例1求解微分方程微分方程的解為解例2求解微分方程解微分方程的解為一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:上方程稱為齊次的.上方程稱為非齊次的.一、線性方程例如線性的齊次方程的通解為1.線性齊次方程一階線性微分方程的解法(使用分離變量法)2.線性非齊次方程常數(shù)變易法積分得一階線性非齊次微分方程的通解為:對應(yīng)齊次方程通解非

2、齊次方程特解解例1伯努利方程的標(biāo)準(zhǔn)形式方程為線性微分方程.方程為非線性微分方程.二、伯努利方程解法:需經(jīng)過變量代換化為線性微分方程.求出通解后，將代入即得代入上式解例解分離變量法得所求通解為整體代換法二階線性微分方程二階線性齊次微分方程二階線性非齊次微分方程n階線性微分方程線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)1.二階齊次方程解的結(jié)構(gòu):問題:例如線性無關(guān)線性相關(guān)特別地:2.二階非齊次線性方程的解的結(jié)構(gòu):解的疊加原理二階常系數(shù)齊次線性方程解法-----特征方程法特征方程特征根?有兩個不相等的實根特征根為得齊次方程的通解為

3、?有兩個相等的實根得齊次方程的通解為特征根為?有一對共軛復(fù)根特征根為得齊次方程的通解為定義由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為特征方程法.解特征方程為解得故所求通解為例1解特征方程為解得故所求通解為例2三、n階常系數(shù)齊次線性方程解法特征方程為特征方程的根通解中的對應(yīng)項注意n次代數(shù)方程有n個根,而特征方程的每一個根都對應(yīng)著通解中的一項,且每一項各一個任意常數(shù).特征根為故所求通解為解特征方程為例3二階常系數(shù)非齊次線性方程對應(yīng)齊次方程通解結(jié)構(gòu)解對應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根代入方程,得原方程

4、通解為例例解特征方程特征根對應(yīng)的齊方的通解為設(shè)原方程的特解為由解得故原方程的通解為由即一、一階常系數(shù)齊次線性差分方程的求解二、一階常系數(shù)非齊次線性差分方程的求解一階常系數(shù)線性差分方程一階常系數(shù)齊次線性差分方程的一般形式一階常系數(shù)非齊次線性差分方程的一般形式一、一階常系數(shù)齊次線性差分方程的求解解特征方程特征根解解二、一階常系數(shù)非齊次線性差分方程的求解1.(1)(2)綜上討論解對應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根代入方程,得原方程通解為解對應(yīng)齊次方程通解代入方程,得解2.解對應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根解對應(yīng)齊次

5、方程通解特征方程特征根(1)※3.(2)解練習(xí)題練習(xí)題答案經(jīng)濟(jì)應(yīng)用彈性（1）需求價格彈性