分塊矩陣初等變換及其應(yīng)用2

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1、揚州市職業(yè)大學畢業(yè)設(shè)計（論文）分塊矩陣的初等變換及其應(yīng)用系別：數(shù)學系1專業(yè)：數(shù)學教育班級：08數(shù)學教育班姓名：孫晶晶學號：0814010123指導教師：劉桂香完成時間：2011年5月分塊矩陣的初等變換及其應(yīng)用08數(shù)學教育孫晶晶摘要：求矩陣的逆、矩陣的行列式、矩陣的秩是高等代數(shù)中常見的問題。而對于高階矩陣而言，這些問題的求解往往過于繁瑣，甚至無法求解。但如果利用矩陣分塊的方法，把矩陣的初等變換的思想和方法運用于分塊矩陣，則可起到事半功倍的效果。本文總結(jié)了分塊矩陣的初等變換的性質(zhì)以及分塊初等變換在求矩陣的逆、矩陣的行列式、矩陣的秩等方面的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：分塊矩陣初等變換應(yīng)用1分塊

2、矩陣及初等變換1.1分塊矩陣的定義把矩陣分別按照橫豎分割成一些小的子矩陣，然后把每個小矩陣看成一個元素，這樣得到的矩陣稱為分塊矩陣。特殊的，如果分塊矩陣的非零子矩陣都在對角線上，就稱為分塊對角矩陣（準對角矩陣）。如：C==是一分塊矩陣，其中，E1、E2、A、B均表示的是一個矩陣。1.2分塊矩陣的運算與普通矩陣的運算完全相同，只須將進行運算的矩陣適當分塊，則有類似于數(shù)字矩陣的運算。加法：已知A=（aij）s×n,B=(bij)s×n,且A與B的分法相同，即A=（Aij）t×r,B=(Bij)t×r,其中Aij與Bij級數(shù)相同,則A+B=（Aij+Bij)t×r.乘法：已知A=

3、（aij）s×n,B=(bij)s×n,且A的列的分法與B的行的分法相一致,A=（Aij）t×k,B=(Bij)k×r,則A·B=C=(Cij)t×r.其中Cij=Ai1B1j+Ai2B2j+…+AimBmj（i、j=1、2、3…n）數(shù)乘：已知A=(Aij）r×s,則kA=（kAij）r×s.④轉(zhuǎn)置：若A=（Aij）s×n,則AT=（ATij）n×s.1.3分塊矩陣初等變換分塊矩陣的初等變換與普通矩陣的初等變換類似，也具有三種類型：換法變換：交換分塊矩陣的j，k兩行（列），記作[j,k]({i,j}).如.倍法變換：用一個可逆矩陣P左（右）乘分塊矩陣的第i行（列）,記作[i

4、(P)]({i(P)}).如.消法變換：用一個矩陣P左（右）乘分塊矩陣的第i行（列）后加到第k行（列），記作[i(P)+k]({i(P)+k}).如.1.4分塊初等矩陣將單位矩陣如下進行分塊,對分塊后的單位矩陣做一次分塊初等變換所得的矩陣稱之為分塊初等矩陣。根據(jù)所做的分塊初等變換不同，分塊初等矩陣有如下三種類型：；或；或.其中Q為可逆矩陣。2分塊初等矩陣的性質(zhì)性質(zhì)1分塊初等矩陣均為可逆的，且逆矩陣仍為分塊初等矩陣。如;;.根據(jù)分塊矩陣初等變換的定義易得性質(zhì)2分塊初等矩陣的轉(zhuǎn)置仍為初等矩陣。如;;.性質(zhì)3設(shè)A為分塊矩陣，則對A施行一次初等行（列）變換，相當于在A的左（右）邊乘

5、以一個對應(yīng)的分塊初等矩陣。如,而;,而.,而.性質(zhì)4分塊矩陣左（右）乘一個分塊初等矩陣，分塊矩陣的秩不變。3分塊矩陣初等變換的應(yīng)用求矩陣的逆、矩陣的行列式、矩陣的秩是高等代數(shù)中常見的問題。而對于高階矩陣而言，這些問題的求解往往過于繁瑣，甚至無法求解。但如果利用矩陣分塊的方法，把矩陣的初等變換的思想和方法運用于分塊矩陣，則可起到事半功倍的效果。3.1分塊矩陣在行列式計算中的應(yīng)用在計算高階矩陣行列式時，通常將矩陣分塊，利用分塊矩陣的初等變換將其化為三角矩陣（或準對角矩陣）的形式，再利用三角形矩陣、準對角形矩陣行列式的性質(zhì)計算。例1設(shè)A、B均為n×n陣，證明行列式的乘積公式證明作

6、，則.又，所以,,,所以.例2A、B、C、D均為n階矩陣，其中A可逆，則.證明因為所以,.例3求行列式的值.解將P進行分塊，得，其中A=,B=,C=,D=.由例2得=.3.2分塊矩陣在求逆矩陣中的應(yīng)用在計算高階矩陣的逆矩陣時，通常將矩陣分塊，利用分塊矩陣的初等變換將其化為三角矩陣（或準對角矩陣）的形式，再利用三角形矩陣、準對角形矩陣逆的性質(zhì)計算。例4若,且A，D可逆，求T-1.解因為,.所以.例5已知A、B、C、D均為n階矩陣，其中A可逆，D-CA-1B可逆，求.證明因為，.所以.例6設(shè),求P-1.解將P分塊=,其中A=,B=,C=,D=.由例5可知.3.3分塊矩陣在證明矩

7、陣秩中的應(yīng)用在計算高階矩陣秩時，通常將矩陣分塊，利用分塊矩陣的初等變換將其化為三角矩陣（或準對角矩陣）的形式，再利用三角形矩陣、準對角形矩陣秩的性質(zhì)計算。例7設(shè)A、B為n×n矩陣，證明：如果AB=0，那么秩（A）＋秩（B)n.證明因為=，,所以.又，.例8設(shè)A為n階矩陣，則.證明對矩陣A的階數(shù)k用數(shù)學歸納法。當k=1時,,結(jié)論成立。若k=n-1,結(jié)論成立。當k=n時，若.不妨設(shè)，.本文介紹了利用矩陣分塊的方法，求矩陣的逆、矩陣的行列式、矩陣的秩問題，然而矩陣分塊的思想方法在矩陣的正定性、特征值等方面應(yīng)用也很廣泛，本