矩陣的分塊初等變換與分塊初等陣及其應(yīng)用

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1、第41卷第1g期數(shù)學(xué)的實踐與認識Vol41,No.192011年10月MATHEMATICSINPRACTICEANDTHEORYOet.,2011矩陣的分塊初等變換與分塊初等陣及其應(yīng)用張新育,周世國(鄭州大學(xué)數(shù)學(xué)系,河南鄭州450052)摘要:討論了矩陣分塊初等變換和分塊初等陣的定義和性質(zhì),利用這一工具研究了行列式的分塊運算,分塊矩陣的求逆和對稱陣的分塊合同變換等問題.關(guān)健詞:分塊初等變換;分塊初等陣;性質(zhì);應(yīng)用1引言線性代數(shù)的矩陣運算與變換在大批量數(shù)據(jù)的研究和計算中起到重要的作用.矩陣的初等變換和初等矩陣是最基礎(chǔ)的變換和計算工具之一矩陣的很多問題均用到這一方法進行研究和解決.本文

2、將探討對分塊矩陣進行研究和計算的相應(yīng)工具,即矩陣分塊初等變換和分塊初等陣.先研究定義和有關(guān)性質(zhì),最后給出若干應(yīng)用.從這些應(yīng)用可以看出,矩陣的分塊初等變換和分塊初等陣對解決部分線性代數(shù)問題和部分多元統(tǒng)計分析問題是非常簡捷有效的.2分塊初等變換和分塊初等陣的概念和性質(zhì)定義2.1將
x
陣A分塊如下AiiAiZ
1乃山-r份rm=rJ碑曰8.5乙
一e.eJl.AZiA22A一(l)A,ir卜*2
l一幾l呂一
,一其中A
,為二

瑪矩陣聲=1,
,r;j二1,
,5.藝二
nj一幾落=1l)將第
個塊行(列)左(右)乘某一可逆陣萬爪

(Jn
),稱為一次第一類分塊行(列)初等變

3、換.2)將第
個塊行(列)與第j個塊行(列)交換,稱為一次第二類分塊行(列)初等變換.3)將第
個塊行(列)左(右)乘某一矩陣氏,
(氏
,)加到第j個塊行(列)上,稱為一次第三類分塊行(列)初等變換.定義2.2將單位矩陣凡進行一次第蔥類分塊初等變換所得到的方陣稱為一個第
類分塊初等陣,
二1,2,3.具體表達與記號如下收稿日怨城
,吟13資助項目:國家自然科學(xué)墓金項目資助(l0971201)246數(shù)學(xué)的實踐與認識41卷l)將凡的第乞:至第蔥:行(列)(
1三幾)所成塊行(列)左(右)乘
:一
1+1階可逆陣K得
盡1一,1凡((乞l,乞2))=L馬一
2
2)交換凡的第
l至第

4、乞:行(藝1三句所成行塊與第JI至第J:行((壇:

5、乞
到乞:列所成塊列上,當(dāng)i:三蔥2

6、明由性質(zhì)1知分塊初等陣的行列式均不為0,所以均為可逆陣,因而均為有限個初等陣之積.性質(zhì)3芍
(K(乞l,乞2))一凡(K一
(
l,蔥2))
1
蔥2芍
((
l,乞2),(jl,JZ))=凡((蔥1,
1+(jZ一jl)),(
l+(jZ一乞2),JZ))(壇1三
:

7、fn
(藝購+1,E
力)A相當(dāng)于對A的第乞個塊行左乘萬m
x,
;j=IJ=lA凡(Kn
一
(藝j=ln,+
,藝j=1n,))相當(dāng)于對Aox
的第蔥個塊列右乘凡

.2)凡_又/L,拱乙m
+1,人乙mk)
,戈,拱乙m
+11八乙mk)
)
A(