分塊矩陣及其應(yīng)用

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1、分塊矩陣及其應(yīng)用【摘要】矩陣論是代數(shù)學(xué)中是一個(gè)重要的組成部分和主要的研究對(duì)象。而分塊矩陣可以降低較高級(jí)數(shù)的矩陣級(jí)數(shù)，使矩陣的結(jié)構(gòu)更加清晰，從而使矩陣的相關(guān)計(jì)算簡化，并且可以證明一些與矩陣有關(guān)的問題。本文詳細(xì)且全面論述了分塊矩陣陣的概念、分塊矩陣的運(yùn)算和其初等變換，而且證明了矩陣的分塊在高等代數(shù)中的應(yīng)用，包括用分塊矩陣證明矩陣秩的問題，用分塊矩陣求行列式問題，用分塊矩陣求逆矩陣的問題,分塊矩陣相似的問題?！娟P(guān)鍵詞】：分塊矩陣；矩陣的秩；逆矩陣；行列式目錄1引言.......................................

2、...22矩陣分塊的定義和性質(zhì).........................22.1矩陣分塊的定義.........................22.2分塊矩陣的運(yùn)算.........................22.3分塊矩陣的初等變換.....................32.4n階準(zhǔn)對(duì)角矩陣的性質(zhì)...................33分塊矩陣在高等代數(shù)中的應(yīng)用...................43.1分塊矩陣在矩陣的秩的相關(guān)證明中的應(yīng)用...43.2利用分塊矩陣計(jì)算行列式.................

3、73.3分塊矩陣在求逆矩陣方面的應(yīng)用..........113.4分塊矩陣在解線性方程組方面的應(yīng)用.......164總結(jié)........................................19參考文獻(xiàn).......................................20191引言矩陣是高等代數(shù)中的一個(gè)重要內(nèi)容，也是高等數(shù)學(xué)的很多分支研究問題的工具。在學(xué)習(xí)高等代數(shù)的時(shí)候常常碰到一些很難的問題，我們要經(jīng)常用到矩陣的分塊去解決，它可以使矩陣的結(jié)構(gòu)更簡單，從而使問題的解決更簡明。比如當(dāng)我們處理階數(shù)較高或具有特殊結(jié)構(gòu)的

4、矩陣時(shí)，用處理一般低階矩陣的方法，往往比較困難，為了研究問題的方便，也為了顯示出矩陣中某些部分的特性，我們常把一個(gè)大型矩陣分成若干子塊，把每個(gè)子塊看作一個(gè)元素，從而構(gòu)成一個(gè)分塊矩陣，這是處理矩陣問題的重要技巧。利用矩陣的分塊，可以把高階矩陣劃分成階數(shù)較低的“塊”，然后對(duì)這些以“塊”為元素的矩陣施行矩陣的運(yùn)算。本文就分塊矩陣的加法、乘法、轉(zhuǎn)置、初等變換等運(yùn)算性質(zhì)，及分塊矩陣在證明矩陣相關(guān)秩的問題、矩陣求逆、行列式展開計(jì)算等方面的應(yīng)用作了較為深入的研究。矩陣的分塊能使矩陣的一些證明和計(jì)算變的非常簡潔和快速，易于理解和掌握，而且能開拓思維，

5、提高靈活應(yīng)用知識(shí)解決問題的能力。192分塊矩陣的定義和性質(zhì)2.1分塊矩陣的定義矩陣分塊，就是把一個(gè)大矩陣看成一些小矩陣組成的，當(dāng)運(yùn)算時(shí)，把這些小矩陣當(dāng)做一些數(shù)來處理，給矩陣的運(yùn)算帶來了方便。設(shè)A是數(shù)域P上的矩陣，將A的行分割r段，每段分別包含個(gè)行，又將A的列分割為s段，每段包含個(gè)列。于是A可用小塊矩陣表示如下：A=其中是矩陣,這種分割法稱為矩陣的分塊。2.2分塊矩陣的相關(guān)運(yùn)算性質(zhì)2.21.加法運(yùn)算：設(shè)為同型矩陣（行和列數(shù)分別相等）。若采用相同的分塊法,A=B=則可以直接相加。2.22乘法運(yùn)算:設(shè)AB=C（A、B為同型矩陣且有相同分塊方

6、式），則C有如下分塊形式：C=，其中192.23.分塊矩陣的轉(zhuǎn)置：一般地，設(shè)A=是一個(gè)分塊矩陣，那么分塊矩陣取轉(zhuǎn)置的規(guī)則：第一步：把的每一塊都看成元素（數(shù)）取轉(zhuǎn)置第二步：對(duì)的每一塊取轉(zhuǎn)置。2.3.分塊矩陣的初等變換分塊矩陣的初等變換是處理分塊矩陣有關(guān)問題的重要工具，我們可以根據(jù)矩陣的初等行變換推廣得到如下定義：定義：以下三種變換稱為分塊矩陣的初等行變換（1）用一個(gè)行列式不為零的方陣左乘（右乘）分塊矩陣的某一塊行。（2）互換兩塊行的位置。（3）把一個(gè)塊行的（矩陣）倍（即這個(gè)塊行里每一個(gè)小矩陣都左乘或右乘一個(gè)矩陣）加到另一塊行上。2.4.

7、n階準(zhǔn)對(duì)角矩陣有如下性質(zhì)：（1）對(duì)于兩個(gè)同類型的n階準(zhǔn)對(duì)角矩陣（其中同為階方陣），A=B=，有:AB=（2）19；（3）A可逆等價(jià)于可逆，且。2.5分塊矩陣相似的條件定義1：設(shè)為階分塊矩陣，若存在可逆分塊矩陣，使得則稱相似于，記作。對(duì)進(jìn)行矩陣的積運(yùn)算稱為對(duì)進(jìn)行相似變換，可逆分塊矩陣稱為把變成的相似因子陣。相似是分塊矩陣間的一種特殊的等價(jià)關(guān)系，即兩個(gè)相似分塊矩陣是等價(jià)分塊矩陣；反之不然。這就是說相似關(guān)系具有一下性質(zhì)：1)反身性；2）對(duì)稱性若,則；3）傳遞性。設(shè)由定義還可得到相似矩陣的以下運(yùn)算性質(zhì)：1）2）3）4）其中中的任意一個(gè)多項(xiàng)式。

8、特別有。定理1兩個(gè)對(duì)角矩陣相似的充要條件為對(duì)角線上的元素相同，只是排列順序不同。19證明：設(shè)A，B是兩個(gè)對(duì)角矩陣且A相似于B，則由相似矩陣的性質(zhì)知，存在可逆矩陣X，使得，即于是有又由A,B為對(duì)角矩陣知，上式成立的充要條件