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1、分塊矩陣及其應用【摘要】矩陣論是代數(shù)學中是一個重要的組成部分和主要的研究對象。而分塊矩陣可以降低較高級數(shù)的矩陣級數(shù)，使矩陣的結構更加清晰，從而使矩陣的相關計算簡化，并且可以證明一些與矩陣有關的問題。本文詳細且全面論述了分塊矩陣陣的概念、分塊矩陣的運算和其初等變換，而且證明了矩陣的分塊在高等代數(shù)中的應用，包括用分塊矩陣證明矩陣秩的問題，用分塊矩陣求行列式問題，用分塊矩陣求逆矩陣的問題,分塊矩陣相似的問題?！娟P鍵詞】：分塊矩陣；矩陣的秩；逆矩陣；行列式目錄1引言.......................................
2、...22矩陣分塊的定義和性質.........................22.1矩陣分塊的定義.........................22.2分塊矩陣的運算.........................22.3分塊矩陣的初等變換.....................32.4n階準對角矩陣的性質...................33分塊矩陣在高等代數(shù)中的應用...................43.1分塊矩陣在矩陣的秩的相關證明中的應用...43.2利用分塊矩陣計算行列式.................
3、73.3分塊矩陣在求逆矩陣方面的應用..........113.4分塊矩陣在解線性方程組方面的應用.......164總結........................................19參考文獻.......................................20191引言矩陣是高等代數(shù)中的一個重要內容，也是高等數(shù)學的很多分支研究問題的工具。在學習高等代數(shù)的時候常常碰到一些很難的問題，我們要經常用到矩陣的分塊去解決，它可以使矩陣的結構更簡單，從而使問題的解決更簡明。比如當我們處理階數(shù)較高或具有特殊結構的
4、矩陣時，用處理一般低階矩陣的方法，往往比較困難，為了研究問題的方便，也為了顯示出矩陣中某些部分的特性，我們常把一個大型矩陣分成若干子塊，把每個子塊看作一個元素，從而構成一個分塊矩陣，這是處理矩陣問題的重要技巧。利用矩陣的分塊，可以把高階矩陣劃分成階數(shù)較低的“塊”，然后對這些以“塊”為元素的矩陣施行矩陣的運算。本文就分塊矩陣的加法、乘法、轉置、初等變換等運算性質，及分塊矩陣在證明矩陣相關秩的問題、矩陣求逆、行列式展開計算等方面的應用作了較為深入的研究。矩陣的分塊能使矩陣的一些證明和計算變的非常簡潔和快速，易于理解和掌握，而且能開拓思維，
5、提高靈活應用知識解決問題的能力。192分塊矩陣的定義和性質2.1分塊矩陣的定義矩陣分塊，就是把一個大矩陣看成一些小矩陣組成的，當運算時，把這些小矩陣當做一些數(shù)來處理，給矩陣的運算帶來了方便。設A是數(shù)域P上的矩陣，將A的行分割r段，每段分別包含個行，又將A的列分割為s段，每段包含個列。于是A可用小塊矩陣表示如下：A=其中是矩陣,這種分割法稱為矩陣的分塊。2.2分塊矩陣的相關運算性質2.21.加法運算：設為同型矩陣（行和列數(shù)分別相等）。若采用相同的分塊法,A=B=則可以直接相加。2.22乘法運算:設AB=C（A、B為同型矩陣且有相同分塊方
6、式），則C有如下分塊形式：C=，其中192.23.分塊矩陣的轉置：一般地，設A=是一個分塊矩陣，那么分塊矩陣取轉置的規(guī)則：第一步：把的每一塊都看成元素（數(shù)）取轉置第二步：對的每一塊取轉置。2.3.分塊矩陣的初等變換分塊矩陣的初等變換是處理分塊矩陣有關問題的重要工具，我們可以根據矩陣的初等行變換推廣得到如下定義：定義：以下三種變換稱為分塊矩陣的初等行變換（1）用一個行列式不為零的方陣左乘（右乘）分塊矩陣的某一塊行。（2）互換兩塊行的位置。（3）把一個塊行的（矩陣）倍（即這個塊行里每一個小矩陣都左乘或右乘一個矩陣）加到另一塊行上。2.4.
7、n階準對角矩陣有如下性質：（1）對于兩個同類型的n階準對角矩陣（其中同為階方陣），A=B=，有:AB=（2）19；（3）A可逆等價于可逆，且。2.5分塊矩陣相似的條件定義1：設為階分塊矩陣，若存在可逆分塊矩陣，使得則稱相似于，記作。對進行矩陣的積運算稱為對進行相似變換，可逆分塊矩陣稱為把變成的相似因子陣。相似是分塊矩陣間的一種特殊的等價關系，即兩個相似分塊矩陣是等價分塊矩陣；反之不然。這就是說相似關系具有一下性質：1)反身性；2）對稱性若,則；3）傳遞性。設由定義還可得到相似矩陣的以下運算性質：1）2）3）4）其中中的任意一個多項式。
8、特別有。定理1兩個對角矩陣相似的充要條件為對角線上的元素相同，只是排列順序不同。19證明：設A，B是兩個對角矩陣且A相似于B，則由相似矩陣的性質知，存在可逆矩陣X，使得，即于是有又由A,B為對角矩陣知，上式成立的充要條件
