數(shù)分類和概念

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1、數(shù)的分類和概念我們把{0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、…}等全體非負整數(shù)組成的數(shù)集合稱為“自然數(shù)”。把{1，2，3，…，9，10}向前擴充得到正整數(shù){1，2，3，…，9，10，11，…}，把它反向擴充得到負整數(shù){…，-11，-10，-9，…，-3，-2，-1}，介于正整數(shù)和負整數(shù)中間的“0”為中性數(shù)；把它們合在一起，得到{…，-11，-10，-9，…，-3，-2，-1，0，1，2，3，…，9，10，11，…}，叫做整數(shù)。對整數(shù)可以施行加、減、乘、除四種運算，叫做四則運算。整數(shù)，對加、減、乘運算組成了一個封閉的數(shù)集合，是數(shù)學古老分支“數(shù)論”研究

2、的對象。著名的德國數(shù)學家高斯說：“數(shù)學是科學的皇后，數(shù)論是數(shù)學中的皇冠”。德國數(shù)學家、數(shù)學王子高斯（Gauss，1777——1855）除法運算，如7/11=0.636363…、11/7=1.5714285…，不再是整數(shù)，也就是說整數(shù)對除法運算是不封閉的。為了使數(shù)集合對加、減、乘、除四則運算都是封閉的，就必須增加新的數(shù)，如7/11、11/7，為兩個整數(shù)之比，稱為可比數(shù)、分數(shù)，現(xiàn)在通稱為有理數(shù)。???把數(shù)的性質(zhì)、數(shù)和數(shù)之間的四則運算在應用過程中的經(jīng)驗進行總結(jié)和整理，形成最古老的一門數(shù)學——算術(shù)。有理數(shù)集合，對加、減、乘、除四則運算組成了一個封閉的數(shù)集合，看起來

3、似乎已很完備。2500多年前，不少人、甚至當時一些數(shù)學家也是這樣看的。公元前５世紀，當時的畢達哥拉斯學派很重視整數(shù)，想用它說明一切，“數(shù)是萬物之本”成了他們的哲學觀。畢達哥拉斯學派的學生希帕索斯在研究1和2的比例中項x時，由1/x=x/2，得到代數(shù)方程x2=2?????????????????????????????????????????（1）在（1）中引入的x，代表我們暫時還不知道一個數(shù)，稱為未知數(shù)。對（1）求解，得到x=。顯然，1

4、的畢氏哲學，是一次致命的打擊，數(shù)學史上把這件事稱為“第一次數(shù)學危機”。在之后，又發(fā)現(xiàn)了很多無理數(shù)，圓周率π就是其中最重要的一個。15世紀意大利著名畫家達·芬奇把它稱之為“無理之數(shù)”?，F(xiàn)在，人們把有理數(shù)和無理數(shù)合并在一起，稱為“實數(shù)”。把方程（1）中2換成-2時，得到x2=-2?????????????????????????????????????????（2）由此得到兩個解：x1=和x2=-，它們還是（2）的解嗎？如果認為不是，（2）就沒有解，解方程如同走進了死胡同。為解決這一問題，數(shù)學家不得不再次擴大數(shù)的范圍，引入符號“”表示“－1的平方根”，即i?=

5、，稱為虛數(shù)；再把實數(shù)a、b和虛數(shù)結(jié)合起來，組成z=形式的數(shù)，稱為“復數(shù)”。在很長一段時間里，人們在實際生活中找不到用虛數(shù)和復數(shù)表示的量，讓人感到有點虛無縹緲。隨著科學的發(fā)展，虛數(shù)在水力學、地圖學和航空學上得到了廣泛的應用。這樣，數(shù)的家族就進一步擴大，包括實數(shù)和復數(shù)兩大類，并把加、減、乘、除的四則算術(shù)運算擴展到包括乘方和開方的六種代數(shù)運算，形成了數(shù)學中一個新的分支“代數(shù)”。代數(shù)進一步向兩個方面發(fā)展，一是研究未知數(shù)更多的一次方程組，引進矩陣、向量、空間等符號和概念，形成“線性代數(shù)”；另一是研究未知數(shù)次數(shù)更高的高次方程，形成“多項式代數(shù)”。這樣，代數(shù)研究的對象，

6、不僅是數(shù)，還包括矩陣、向量、向量空間及其變換等。它們都可以進行“運算”，雖然也叫做加法或乘法，但是關(guān)于數(shù)的基本運算定律，有時不再有效。因此，代數(shù)學的內(nèi)容可以概括稱為帶有運算的一些代數(shù)結(jié)構(gòu)的集合，如群、環(huán)、域等，又含抽象代數(shù)、布爾代數(shù)、關(guān)系代數(shù)、計算機代數(shù)等眾多分支。由于科學技術(shù)發(fā)展的需要，數(shù)的范圍不斷擴大，從正整數(shù)、自然數(shù)、整數(shù)、實數(shù)到復數(shù)，再到向量、張量、矩陣、群、環(huán)、域等不斷的擴充與發(fā)展。為區(qū)別起見，人們把實數(shù)和復數(shù)稱為“狹義數(shù)”，把向量、張量、矩陣等稱為“廣義數(shù)”。盡管人們對數(shù)如何分類還有一些不同的看法，但都承認數(shù)的概念還會不斷擴充和發(fā)展。到目前為止

7、，數(shù)的家族已發(fā)展得十分龐大，可表示為：