控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立

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1、第2章控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的有效性直接關(guān)系到對(duì)系統(tǒng)性能的分析結(jié)果，所以建立合理的、有效的數(shù)學(xué)模型是控制系統(tǒng)分析中首先要解決的問(wèn)題。本章將對(duì)控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立、傳遞函數(shù)的概念、結(jié)構(gòu)圖和信號(hào)流圖的建立及化簡(jiǎn)等內(nèi)容加以論述。2.1概述數(shù)學(xué)模型:描述系統(tǒng)各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。動(dòng)態(tài)模型：描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過(guò)程的方程式稱(chēng)為動(dòng)態(tài)模型。如微分方程、偏微分方程、差分方程等。建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的途徑：理論推導(dǎo)法（演繹法）——通過(guò)系統(tǒng)本身機(jī)理(物理、化學(xué)規(guī)律)分析確定模型結(jié)構(gòu)和參數(shù)，推導(dǎo)出系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。實(shí)驗(yàn)測(cè)試法（歸納法）——根據(jù)對(duì)

2、系統(tǒng)的觀察，由測(cè)量得到的大量輸入、輸出數(shù)據(jù)，推斷出被研究系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型時(shí)，應(yīng)注意：（1）根據(jù)研究目的和精確性要求，忽略一些次要因素，使系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型簡(jiǎn)化，便于數(shù)學(xué)上的處理。（2）根據(jù)所采用的分析方法，建立相應(yīng)形式的數(shù)學(xué)模型(微分方程、傳遞函數(shù)等)，有時(shí)還要考慮便于計(jì)算機(jī)求解。n2.2控制系統(tǒng)微分方程的建立建立系統(tǒng)(或部件)微分方程式的一般步驟：n(1)確定輸入變量和輸出變量;n(2)根據(jù)物理或化學(xué)定律，列出系統(tǒng)(或元件)的原始方程式；n(3)找出中間變量與其它因素的關(guān)系式；n(4)消去中間變量，得到輸入輸出關(guān)系方程式

3、；n(5)若所求輸入輸出關(guān)系為非線性方程，則需進(jìn)行線性化；n(6)標(biāo)準(zhǔn)化。將輸入項(xiàng)及各階導(dǎo)數(shù)放到方程的右邊，將輸出項(xiàng)及各階導(dǎo)數(shù)放到方程的左邊，然后按降冪的順序排列。上式中有，則有i=;di=Cd2u/d(t);di/dt=Cd2u/d2(t);增量化數(shù)學(xué)模型中小△可以不寫(xiě)。n2.3傳遞函數(shù)：n2.3.1傳遞函數(shù)定義:線性(或線性化)定常系統(tǒng)在零初始條件下，輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比稱(chēng)為傳遞函數(shù)。若線性定常系統(tǒng)由下述n階微分方程描述，令C(s)=L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，在初始條件為零時(shí)，進(jìn)行拉氏變換，可得

4、到s的代數(shù)方程2.3.2傳遞函數(shù)的性質(zhì)(1)傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理真分式函數(shù)，分子的階數(shù)m一般低于或等于分母的階數(shù)n，即m≤n，且所有系數(shù)均為實(shí)數(shù)。n(2)傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)和元件的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與外作用及初始條件無(wú)關(guān)。n(3)一定的傳遞函數(shù)有一定的零、極點(diǎn)分布圖與之對(duì)應(yīng)，因此傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)分布圖也表征了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。(4)若下式中s=0，則稱(chēng)為傳遞系數(shù)(或靜態(tài)放大系數(shù))。(5)傳遞函數(shù)只能表示輸入與輸出的函數(shù)關(guān)系，至于系統(tǒng)中的中間變量無(wú)法反映出來(lái)。(6)一個(gè)傳遞函數(shù)只能表示一個(gè)輸入對(duì)一個(gè)輸出的函數(shù)關(guān)系。2.3.3典型環(huán)節(jié)及

5、其傳遞函數(shù)n2.4控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖2.4.1結(jié)構(gòu)圖的概念。加可以不標(biāo)注，但減一定要標(biāo)注-（1）建立控制系統(tǒng)各元部件的微分方程。在建立微分方程時(shí)，應(yīng)分清輸入量、輸出量，同時(shí)應(yīng)考慮相鄰元件之間是否有負(fù)載效應(yīng)。n（2）對(duì)各元件或部件的微分方程進(jìn)行拉氏變換，并作出各元件的結(jié)構(gòu)圖。n（3）按照系統(tǒng)中各變量的傳遞順序，依次將各部件結(jié)構(gòu)圖連接起來(lái)，置系統(tǒng)輸入變量于左端，輸出變量于右端。對(duì)同一個(gè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖不是唯一的例2兩級(jí)RC網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖帶有隔離放大器的兩級(jí)RC網(wǎng)絡(luò)：負(fù)載效應(yīng)，后一級(jí)網(wǎng)絡(luò)作為前一級(jí)網(wǎng)絡(luò)的負(fù)載，n對(duì)前級(jí)網(wǎng)絡(luò)的輸出電壓u1產(chǎn)生影響。注意

6、：此時(shí)，不能用兩個(gè)單獨(dú)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖的串聯(lián)表示組合網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖，為了消除負(fù)載效應(yīng)，可以在兩級(jí)RC電路之間插入隔離放大器。例3位置隨動(dòng)控制系統(tǒng)：2.4.3結(jié)構(gòu)圖的等效變換,1）串聯(lián)連接,結(jié)論：結(jié)構(gòu)圖串聯(lián)總傳遞函數(shù)等于各個(gè)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積2）并聯(lián)連接,結(jié)論：結(jié)構(gòu)圖并聯(lián)總傳遞函數(shù)等于各個(gè)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的代數(shù)例4.求出如下所示結(jié)構(gòu)圖的傳遞函數(shù)。例5.求位置隨動(dòng)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)GB(s)（即qc(s)/qr(s)〕該結(jié)構(gòu)圖不是基本組成形式，需使用結(jié)構(gòu)圖的等效變換法則。結(jié)構(gòu)圖如下：(2)結(jié)構(gòu)圖的等效變換法則n1）綜合點(diǎn)（比較點(diǎn)）的移動(dòng)a.綜合點(diǎn)前

7、移：b.綜合點(diǎn)后移：c.綜合點(diǎn)之間的移動(dòng)：2）引出點(diǎn)（分支點(diǎn)）的移動(dòng)：na.引出點(diǎn)后移：b.引出點(diǎn)前移：c.相鄰引出點(diǎn)之間的移動(dòng)：(3)結(jié)構(gòu)圖變換舉例：例6簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)圖，并求系統(tǒng)傳遞函數(shù)C(s)/R(s)：例7化簡(jiǎn)兩級(jí)RC網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖，并求出傳遞函數(shù)Uc(s)/Ur(s)。簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)圖求總傳遞函數(shù)的一般步驟：(1)確定輸入量與輸出量，如果作用在系統(tǒng)上的輸入量有多個(gè)(分別作用在系統(tǒng)的不同部位)，則必須分別對(duì)每個(gè)輸入量逐個(gè)進(jìn)行結(jié)構(gòu)變換，求得各自的傳遞函數(shù)。對(duì)于有多個(gè)輸出量的情況，也應(yīng)分別處理。nn(2)若結(jié)構(gòu)圖中有交叉關(guān)系，應(yīng)運(yùn)用等效變換法則

8、，首先將交叉消除，化為無(wú)交叉的單回路結(jié)構(gòu)。nn(3)對(duì)于回路可由里向外變換，直至變換為一個(gè)等效的方框，即得到所求的傳遞函數(shù)。n2.5控制系統(tǒng)的信號(hào)流圖2.5.1信號(hào)流圖的定義信號(hào)流圖是由節(jié)點(diǎn)和支路組成的信號(hào)傳遞網(wǎng)絡(luò):a.節(jié)點(diǎn)標(biāo)志變量(