數(shù)學(xué)模型的建立

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1、第三節(jié)數(shù)學(xué)模型一、概述數(shù)學(xué)模型是所研究系統(tǒng)的動態(tài)特性的數(shù)學(xué)表達(dá)式，或者說，是系統(tǒng)輸入作用與輸出作用之間的數(shù)學(xué)關(guān)系?？刂葡到y(tǒng)中需要建立數(shù)學(xué)模型的，不局限于被控對象，系統(tǒng)中的每一個部分都需要建立數(shù)學(xué)模型。但相對來說，被控對象之外部分的數(shù)學(xué)模型很多是控制儀表及裝置的模型，其特性已經(jīng)研究得比較多，而且變化很少。被控對象則比較復(fù)雜，不同的控制系統(tǒng)，被控對象的差異極大。因此，建模的重點(diǎn)是對象的建模。被控對象千差萬別，建立模型特別是機(jī)理建模，需要對被控對象有比較透徹的了解。1．過程對象的特點(diǎn)過程對象系統(tǒng)相對較大、較為復(fù)雜，時間常數(shù)大、滯后

2、大，具有非線性、分布參數(shù)和時變特性，因此建模比較困難，需要在模型的簡化上做工作，更多地需要從實(shí)驗(yàn)中建立模型。2．簡化模型實(shí)際的物理系統(tǒng)是非常復(fù)雜的，過程對象也是如此，必須對系統(tǒng)進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮喕幚?，才能有效地建模。通常的做法是：?）從分布參數(shù)到集中參數(shù)所有系統(tǒng)的模型本質(zhì)上都是分布參數(shù)的，但分布參數(shù)模型太復(fù)雜，難建立也難以處理。因此，通常都是將它簡化為集中參數(shù)系統(tǒng)來建立模型。當(dāng)然，這僅僅在一定的范圍內(nèi)是有效的。（2）從非線性到線性實(shí)際的物理系統(tǒng)存在許多非線性，只要系統(tǒng)中任何一個環(huán)節(jié)是非線性的，系統(tǒng)就是非線性的。線性系統(tǒng)的重要特

3、征是可以運(yùn)用疊加原理，這將使系統(tǒng)建模分析大大簡化。因此，在很多情況下，應(yīng)該盡量將系統(tǒng)簡化為線性系統(tǒng)來建模和分析。3．建模方法系統(tǒng)的建模方法分為兩大類：機(jī)理建模與實(shí)驗(yàn)建模。開始人們傾向于機(jī)理建模，認(rèn)為這樣的模型有理論依據(jù)，物理意義明確。但對于較復(fù)雜的系統(tǒng)，做了許多簡化與理想化后，才能建立起機(jī)理模型。實(shí)驗(yàn)室建模似乎是迫不得已的辦法，但在數(shù)據(jù)處理能力大大提高的今天，它也有較強(qiáng)的生命力。機(jī)理建模就像是“開環(huán)控制”，理論上可以做到很精確，但實(shí)際上很難；試驗(yàn)建模就像是“閉環(huán)控制”，不管對象有多復(fù)雜，都可用這種綜合方法來對付它。對于一個新

4、的建模問題，可以先建立一個比較簡化的機(jī)理模型，對之進(jìn)行一些初步的了解和研究。然后再試圖建立一個比較完善的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)行比較全面和精確的研究。最好是機(jī)理建模與實(shí)驗(yàn)建模相互印證、相互補(bǔ)充和完善。二、機(jī)理建模機(jī)理建模就是根據(jù)被研究對象的物理化學(xué)性質(zhì)和運(yùn)動規(guī)律來建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。因此，需要掌握對象的能量平衡關(guān)系、物料平衡關(guān)系、動量平衡關(guān)系、化學(xué)反應(yīng)規(guī)律、電路電子原理等知識，難度相當(dāng)大。因此，必須作出合理的假設(shè)，建模才是可行的。通常總是假設(shè)系統(tǒng)是集中參數(shù)的和線性的，當(dāng)然，在這樣的假設(shè)條件下，建立的模型只能在一定的工作范圍內(nèi)適用。但是

5、，各種假設(shè)的合理程度如何？簡化的方法是否正確？模型的適用工作范圍如何？這一系列問題，最終還是要通過實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證和修正?？刂葡到y(tǒng)中，需要建模的對象包括了各種類型的元器件、儀表與裝置（有電子的、機(jī)械的、氣動的、液動的），簡單的如杠桿系統(tǒng)，復(fù)雜的如反應(yīng)器等等。另外測量儀表及變送器、調(diào)節(jié)器和執(zhí)行器，將在后面介紹。這里我們著重介紹化工等過程設(shè)備裝置的數(shù)學(xué)模型。1、一階系統(tǒng)當(dāng)一個對象可以用一階微分方程描述其特性時，它就是一個一階對象或一階系統(tǒng)。設(shè)其微分方程表示為（2-29）式中，X為對象的輸入變量，y為對象的輸出變量，對上式取拉普拉斯變換

6、（設(shè)初始值為零），得TsY（s）＋Y（s）=KX（s）整理得（2-30）用方塊圖表示為（圖2-14）很多實(shí)際的物理對象，其數(shù)學(xué)模型是一階系統(tǒng)或可以近似地用一階系統(tǒng)來描述。R－C電路和水槽等是最常見的一階系統(tǒng)。（1）R－C電路在圖2－15所示的電路中，設(shè)ei為輸入電壓，是該系統(tǒng)的輸入變量；電容兩端的電壓為輸出電壓，是該系統(tǒng)的輸出變量；i是流過電阻R的電流。根據(jù)電路原理中的科希霍夫定律，有：ei＝iR＋e0消去中間變量i，得到ei與e0之間的關(guān)系式：（2-31）上式是一階微分方程，說明R-C電路是一階系統(tǒng)。求拉普拉斯變換，并假設(shè)

7、初始條件為零，得RcsE0（s）+E0（s）＝Ei（s）整理得R-C電路系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為（2-32）R－C電路很直觀，很簡單，電阻和電容的概念比較清晰。許多物理系統(tǒng)如液位系統(tǒng)、熱力學(xué)系統(tǒng)和氣動系統(tǒng)有類似的概念。（2）水槽如圖2-16所示，水槽的液面高度為h，我們希望這個液位能比較穩(wěn)定，這里將它定為該系統(tǒng)的輸出變量或被控變量。輸入流量Qi由閥門l加以調(diào)節(jié)，從而保持液位h的穩(wěn)定，Qi是系統(tǒng)的輸入變量。對水槽的流出量Q0，閥門2不加以控制，是系統(tǒng)的中間變量。閥門2相當(dāng)于一個負(fù)載，或者是類似于R－C電路中的電阻R，可稱為液阻R：（2

8、-33）當(dāng)流過閥門2中的流體狀態(tài)為層流時，有Q0＝Kh（2-34）由以上兩式，可求得此時的液阻R：由于K是一個常數(shù)，故R也是一個常數(shù)，這與電阻很相似。對于水槽系統(tǒng)，還可以定義類似于電容的液容C：（2-35）很顯然，對于橫截面積保持不變的容器，液容等于橫截面積A。當(dāng)系統(tǒng)中的液體流動為層流時，