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1、哥德爾定理及其哲學義蘊1.哥德爾其人假如讓人們列舉出20世紀影響人類思想的十大偉人，恐怕愛因斯坦（AlbertEinstein）、圖靈（AlantTuring）、哥德爾（KurtGödel）和凱恩斯（JohnKeynes）應榜上有名，事實上，這四位也恰是2002年美國《時代周刊》上列出的“20世紀震撼人類思想界的四大偉人”，足見這四位大家思想之重要而深遠。然而，對于物理學家愛因斯坦、理論計算機之父圖靈，以及經(jīng)濟學家凱恩斯的工作，一般人總還略知一二，但大多數(shù)人對作為數(shù)學家和邏輯學家的哥德爾的思想就知之不祥，更知之不確了。庫爾特．哥德爾1
2、906年出生在摩拉維亞的布爾諾城，是一個生活條件屬中產階級的奧地利日爾曼裔家庭的第二個兒子，父親是一家紡織廠的合伙經(jīng)營人，母親是受過良好教育的家庭婦女。1924年哥德爾入維也納大學學習，最初主修物理和數(shù)學，后來在維也納小組的激勵下開始學習邏輯。1930年獲哲學博士學位，1933年獲維也納大學執(zhí)教資格。1940年遷居美國任普林斯頓研究院研究員，1948年加入美國國籍，1976年退休，1978年由于精神紊亂死于拒絕進食造成的營養(yǎng)枯竭。哥德爾的一生可以說是傾力獻身基礎理論研究的一生，他的學術貢獻基本上是在數(shù)學、邏輯和哲學領域。1929-1938年間哥
3、德爾作出數(shù)理邏輯領域三大貢獻：證明一階謂詞演算的完全性；證明算術形式系統(tǒng)的不完全性；證明連續(xù)統(tǒng)假設和集合論公理的相對一致性，這些結果不僅使邏輯學發(fā)生了革命，而且對數(shù)學、哲學、計算機和認知科學都有非常重大的影響。特別是電子計算機誕生之后，哥德爾的不完全性定理的深刻性更加受到學界的關注。只是稍稍出乎人們意料的是，作出這幾個劃時代結果后，自1940年以后，哥德爾除了繼續(xù)思考一些集合論問題，有5年時間熱中相對論并得到一個受愛因斯坦贊賞的結果外，大部分時間傾注了哲學問題的研究。他一生著述很少，極少公開演講，只出版過一部著作，發(fā)表文字不及300頁，從未構造
4、過任何完整的理論體系，甚至沒有一個真正意義上自己的學生，他的大部分思想記錄在手稿、私人通信和談話記錄中。哥德爾曾被許多人看作帶有神秘色彩的人物，一方面是因為他的不完全性定理的邏輯外衣使大多數(shù)人難覓其思想的內在義蘊，另一方面也因為對于他的個性和精神狀況流傳著一些坊間神話。但是可以肯定的，哥德爾不僅以精湛優(yōu)雅的工作作出了令世人矚目的科學貢獻，還以卓然深刻的思想為世人留下一筆豐厚的哲學遺產。哥德爾一生特立獨行，始終如一地將一流的人格品質、高遠的科學鑒賞力、超凡的創(chuàng)造性和至為嚴謹?shù)膶W風融為一體，傾其全力獻身基礎理論研究工作，在這個充滿競爭的世界上，他完
5、全采取了一種“超然于競爭之上”的生活態(tài)度。王浩曾將哥德爾與愛因斯坦相提并論，稱他們是哲人科學家中的“稀有品種”。到目前為止，由一流數(shù)學家和邏輯學家組成的編委會負責編輯出版的《哥德爾文集》已經(jīng)于1986、1990、1995年出版了前三卷，其他各卷還將陸續(xù)出版，借助《哥德爾文集》，我們必將逐步走進哥德爾的精神世界，進一步理解其思想的博大精深。2.哥德爾的不完全性定理哥德爾思想最深刻地體現(xiàn)在為世人稱道的不完全性定理之中。為了理解這一定理的深刻內涵，我們首先了解一下一階謂詞邏輯的完全性問題。我們知道，自然語言中包含著各種隱喻的成分和模糊之處，在使用中常
6、常需要依賴于使用語言的語境，用自然語言進行推理往往會產生歧義，帶來意義的不確定性，因此在萊布尼茲時代，邏輯學家們就希望引進一套意義單一明確的人工符號，構造一套形式語言來嚴格、清晰地整理日常推理和數(shù)學推理。為此目的，1879年弗雷格（G.Frege）提出第一個初等邏輯的形式系統(tǒng)（未完全形式化），1910年羅素（B.Russell）在《數(shù)學原理》中給出了一階謂詞邏輯的形式系統(tǒng)PM，1928年希爾伯特（D.Hilbert）和阿克曼（an）又引進了形式系統(tǒng)HA，基本特征都是引進了一套人工語言代替自然語言。一般來講，在一個形式系統(tǒng)中，各種陳述都表示成有窮
7、長度的符號串，系統(tǒng)的形成規(guī)則指明什么樣的符號串是合法的公式，一些符號串被當作公理。系統(tǒng)中還包括一系列推理規(guī)則，指明什么是系統(tǒng)中定理的證明。一個證明就是從公理出發(fā)對公式變形而形成的有窮長的公式序列，序列中的每一個公式，或者是公理，或者是由在前的公式依照推理規(guī)則形成的公式，而且系統(tǒng)中每一個定理都是這樣經(jīng)過有窮步驟得到的結果。到了20世紀20年代，這三個系統(tǒng)已經(jīng)為邏輯學家們所普遍接受。問題是，這樣的形式系統(tǒng)是否能囊括所有的邏輯真理？于是，希爾伯特1928年明確提出問題，證明一階謂詞邏輯系統(tǒng)具有完全性。一年以后，哥德爾在他1929年完成的博士論文中證明
8、，包括弗雷格、羅素和希爾伯特-阿克曼的一階謂詞邏輯的形式系統(tǒng)，都具有一種語義完全性，即所有普遍有效式都可在一階謂詞邏輯系統(tǒng)中作為定理得到證明，所謂普遍
