哥德爾定理及其哲學(xué)義蘊(yùn)論文

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1、哥德爾定理及其哲學(xué)義蘊(yùn)論文1.哥德爾其人假如讓人們列舉出20世紀(jì)影響人類思想的十大偉人，恐怕愛因斯坦（AlbertEinstein）、圖靈（AlantTuring）、哥德爾（KurtGdel）和凱恩斯（JohnKeynes）應(yīng)榜上有名，事實(shí)上，這四位也恰是2002年美國(guó)《時(shí)代周刊》上列出的“20世紀(jì)震撼人類思想界的四大偉人”，足見這四位大家思想之重要而深遠(yuǎn)。然而，對(duì)于物理學(xué)家愛因斯坦、理論計(jì)算機(jī)之父圖靈，以及經(jīng)濟(jì)學(xué)家凱恩斯的工作，一般人總還略知一二.freelan）又引進(jìn)了形式系統(tǒng)HA，基本特征都是引進(jìn)了一套人工

2、語言代替自然語言。一般來講，在一個(gè)形式系統(tǒng)中，各種陳述都表示成有窮長(zhǎng)度的符號(hào)串，系統(tǒng)的形成規(guī)則指明什么樣的符號(hào)串是合法的公式，一些符號(hào)串被當(dāng)作公理。系統(tǒng)中還包括一系列推理規(guī)則，指明什么是系統(tǒng)中定理的證明。一個(gè)證明就是從公理出發(fā)對(duì)公式變形而形成的有窮長(zhǎng)的公式序列，序列中的每一個(gè)公式，或者是公理，或者是由在前的公式依照推理規(guī)則形成的公式，而且系統(tǒng)中每一個(gè)定理都是這樣經(jīng)過有窮步驟得到的結(jié)果。到了20世紀(jì)20年代，這三個(gè)系統(tǒng)已經(jīng)為邏輯學(xué)家們所普遍接受。問題是，這樣的形式系統(tǒng)是否能囊括所有的邏輯真理？于是，希爾伯特1928

3、年明確提出問題，證明一階謂詞邏輯系統(tǒng)具有完全性。一年以后，哥德爾在他1929年完成的博士論文中證明，包括弗雷格、羅素和希爾伯特-阿克曼的一階謂詞邏輯的形式系統(tǒng)，都具有一種語義完全性，即所有普遍有效式都可在一階謂詞邏輯系統(tǒng)中作為定理得到證明，所謂普遍有效式，就是在一切論域中都真的公式。這一結(jié)果表明，一階謂詞邏輯系統(tǒng)在刻畫那些邏輯真理方面是足夠充分的。既然一階謂詞邏輯具有如此強(qiáng)大的能力，邏輯學(xué)家們期望借助它構(gòu)造整個(gè)數(shù)學(xué)的形式系統(tǒng)，從而用形式化手段證明所有的數(shù)學(xué)真理。事實(shí)上，1900年巴黎數(shù)學(xué)家會(huì)議上，希爾伯特遵從“世

4、界上沒有不可知”，“人類理性提出的問題人類理性一定能夠回答”的哲學(xué)信念，提出23個(gè)問題數(shù)學(xué)問題，其中的第二個(gè)問題就是建立整個(gè)數(shù)學(xué)的一致性（即無矛盾性或稱協(xié)調(diào)性），20年代希爾伯特本人曾提出了一個(gè)使用有窮方法建立實(shí)數(shù)和分析的一致性的方案，稱為希爾伯特元數(shù)學(xué)方案。所謂有窮方法，粗略地說就是一套可操作的形式化程序，依照這樣的程序可以一步一步地在有窮步驟內(nèi)得到確切結(jié)果。1930年獲得博士學(xué)位之后，為了獲得大學(xué)授課資格，哥德爾開始沿著希爾伯特方案的路線著手解決希爾伯特第二問題。而不完全性定理正是解決第二問題所得的結(jié)果。哥德

5、爾最初是想尋此方案首先建立算術(shù)理論的一致性，然后再建立相對(duì)于算術(shù)而言實(shí)數(shù)理論的一致性，但出乎意外的是，他得到了與希爾伯特預(yù)期完全相反的結(jié)果，最終證明了形式算術(shù)系統(tǒng)的一致性不能用有窮手段證明。哥德爾首先用一階謂詞邏輯的形式語言陳述皮亞諾算術(shù)的五條公理，同時(shí)將所形成的算術(shù)形式系統(tǒng)記為PA，在發(fā)表于1931年的論文《論《數(shù)學(xué)原理》及有關(guān)系統(tǒng)中的形式不可判定命題Ⅰ》中，證明了如下兩個(gè)重要結(jié)果：哥德爾第一不完全性定理：如果PA是一致的，則存在PA命題P，P在PA中不可證；如果PA是ω一致的，則P的否定﹁P在PA中不可證（1

6、936年羅塞爾（J.B.Rosser）證明可以將條件“ω一致”改為“一致”），即系統(tǒng)PA是不完全的，這樣的P稱為不可判定命題（即命題和命題的否定都不是系統(tǒng)的定理）。哥德爾第二不完全性定理：如果算術(shù)形式系統(tǒng)PA是一致的，則不可能在系統(tǒng)PA內(nèi)部證明其一致性。哥德爾的兩個(gè)不完全性定理可以更一般地表述為：哥德爾第一不完全性定理：任何足以展開初等數(shù)論的數(shù)學(xué)形式系統(tǒng)，如果是一致的，就是不完全的，即其中必定存在不可判定命題；哥德爾第二不完全性定理：任何足以展開初等數(shù)論的數(shù)學(xué)形式系統(tǒng)，如果是一致的，其一致性在系統(tǒng)內(nèi)不可證。第二不

7、完全性定理的另一種形式：任何足夠豐富的數(shù)學(xué)形式系統(tǒng)，如果是一致的，那么它不能證明表達(dá)它自身一致性的命題是定理。哥德爾證明第一不完全性定理的思路是，先在形式系統(tǒng)中構(gòu)造一個(gè)命題P，這個(gè)命題形如“P在系統(tǒng)中不可證”，進(jìn)而指出，這個(gè)命題P和它的否定﹁P都不是系統(tǒng)的定理，即這個(gè)命題在系統(tǒng)中是不可判定的。依照經(jīng)典邏輯，任何一個(gè)命題，或者為真，或者為假，二者必居其一，二者只居其一，即命題和命題的否定必有一真，因此，系統(tǒng)中存在不可判定命題，就意味著系統(tǒng)中存在真的但不可證的命題。事實(shí)上，哥德爾構(gòu)造的命題P身就是一個(gè)真的但在系統(tǒng)中不

8、可證的命題。哥德爾證明第二不完全性定理的思路是，既然有事實(shí)，如果系統(tǒng)PA是一致的，則P在系統(tǒng)PA中不可證，那么表達(dá)這個(gè)事實(shí)的論證可以在系統(tǒng)PA中形式化。例如，“系統(tǒng)PA是一致的”可以表示為Con（PA），同時(shí)把“P在系統(tǒng)PA中不可證”就用P表示，相應(yīng)論證就表示成：├Con（PA）→P根據(jù)前述，如果Con（PA）可證，則有├P即P在系統(tǒng)PA中可證。這顯然與第一不完全性定律相