懸臂梁非線性大變形分析

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1、懸臂梁非線性大變形分析摘要:工程中彈性大變形問題的余能中包含著與微元旋轉(zhuǎn)有關(guān)的量,因此可將工程中的彈性大變形的余能分解為余能轉(zhuǎn)動部分和變形部分組成,基于這一思路,本文以幾何非線性余能原理概念為基礎,通過算例分析驗證了該原理可用于解決幾何非線性大變形問題?! £P(guān)鍵詞:余能原理;非線性;大變形 ?。篢H13:A  1概述  從基面力概念的概念出發(fā),以Lagrange乘子法松弛單元域內(nèi)的平衡條件,就可以得到諸如:材料的本構(gòu)關(guān)系、結(jié)構(gòu)的邊界條件與平衡方程等彈性力學問題的基本方程表達式,同時還可以據(jù)此建立余能原理。同樣,在研究結(jié)構(gòu)的受力性能時,

2、特別是在工程結(jié)構(gòu)大變形的分析中,基面力具有傳統(tǒng)的二階應力張量無法比擬的優(yōu)越性,為解決工程中的幾何非線性大變形問題的計算分析提供了一個極佳的方法。因此,本文以幾何非線性余能原理為基礎,采用迭代法,對某一懸臂梁自由端頂部承受集中荷載作用而產(chǎn)生大變形的工程數(shù)值算例進行分析,分析所得結(jié)果并與相關(guān)有限元理論數(shù)值解進行對比,進而驗證了該原理適用性?! ?數(shù)學模型建立  工程中彈性大變形問題的余能中包含著與微元旋轉(zhuǎn)有關(guān)的量,因此可將工程中的彈性大變形的余能主要分解為余能轉(zhuǎn)動部分和余能變形部分?;谶@一思路,文中以幾何非線性余能原理概念為基礎,給出了

3、幾何非線性中的大位移、大轉(zhuǎn)動的余能表達式的具體形式,并結(jié)合單元柔度矩陣,利用Lagrange乘子法最后給出余能有限元控制方程?! ?.1由上述可知單元余能由轉(zhuǎn)動部分和變形部分兩部分組成?! ?.1.1單元余能的轉(zhuǎn)動部分表達式為:  2.1.2單元余能的變形部分表達式為:  2.2柔度矩陣  單元柔度矩陣的顯式表達式為  式(3)中,U為單位張量,E材料的彈性模量,ν為材料的泊松比。  2.3支配方程  利用Lagrange乘子法,放松平衡條件約束,則修正的泛函可寫成  3工程算例分析  懸臂梁自由端承受集中力作用的幾何非線性大位移分析

4、,某一懸臂梁的自由端部受集中力p作用(如圖1所示),該懸臂梁的長度為L=5m,梁截面高為h=0.1m,b為梁的單位寬度,集中力為p=50N。計算時,按平面應力問題考慮,梁的彈性模量為E=3×106N/m2,在本算例中集中力荷載采用進行一次加載分析?! ∮嬎銜r,有限元單元采用四邊形單元,有限元X格的剖分見圖1所示,在本分析中該懸臂梁共有389個邊中節(jié)點和180個四邊形單元。下面將計算所得懸臂梁自由端的無量綱水平位移u/L值和無量綱豎向位移值v/L與無量綱荷載k=PL2/EI值的關(guān)系,以及與非線性理論解和非線性勢能原理有限元解,文中簡稱為

5、PFEM的比較關(guān)系列于表1,而相應于無量綱荷載k=PL2/EI值與u/L及v/L值的對應關(guān)系圖如圖2和圖3所示。  由表1可知,當k=0.5時,u/L值的三個解都是0.016;當k=1時,u/L值中的本文解與PFEM解和理論解均值的差值為0.002;當k=2時,u/L值中的本文解與PFEM解和理論解均值的差值為-0.0045;當k=3時,u/L值中的本文解與PFEM解和理論解均值的差值為0.009;當k=4時,u/L值中的本文解與PFEM解和理論解均值的差值為0.002;當k=5時,u/L值中的本文解與PFEM解和理論解均值的差值為0

6、.003,由此可知在本算例分析中,u/L值中本文解與PFEM解和理論解的對應較好,最大差值僅為0.009?! ⊥?,由表1可知,當k=0.5時,v/L值中的本文解與PFEM解和理論解均值的差值為0.002;當k=1時,v/L值中的本文解與PFEM解和理論解均值的差值為0.003;當k=2時,v/L值中的本文解與PFEM解和理論解均值的差值為0.010;當k=3時,v/L值中的本文解與PFEM解和理論解均值的差值為0.009;當k=4時,v/L值中的本文解與PFEM解和理論解均值的差值為0.002;當k=5時,v/L值中的本文解與PFE

7、M解和理論解均值的差值為0.021,對應于u/L值中本文解與PFEM解和理論解的對應情況可知v/L值中本文解與PFEM解和理論解的對應差值在k=5時有較大的區(qū)別,其最大值為0.021,主要原因是本算例分析中梁自由端的大變形以豎向變形為主,相對數(shù)值較大,可考慮增加該方向結(jié)構(gòu)的有限元單元劃分數(shù)量,細化計算結(jié)果。  結(jié)語 ?。?)由本工程算例分析可知,對于工程中幾何非線性大變形問題可應用本文中給出幾何非線性余能原理有限元公式進行求解且與PFEM解和理論解吻合較好摘要:工程中彈性大變形問題的余能中包含著與微元旋轉(zhuǎn)有關(guān)的量,因此可將工程中的彈性

8、大變形的余能分解為余能轉(zhuǎn)動部分和變形部分組成,基于這一思路,本文以幾何非線性余能原理概念為基礎,通過算例分析驗證了該原理可用于解決幾何非線性大變形問題?! £P(guān)鍵詞:余能原理;非線性;大變形  :TH13:A  1概述  

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