解析幾何精編講義2018年北京

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1、一、直線與方程基礎(chǔ)：1、直線的傾斜角：αα2、直線的斜率：；注意：傾斜角為90°的直線的斜率不存在。3、直線方程的五種形式：①點(diǎn)斜式：；②斜截式：；③一般式：；④截距式：；⑤兩點(diǎn)式：注意：各種形式的直線方程所能表示和不能表示的直線。4、兩直線平行與垂直的充要條件：，，；.5、相關(guān)公式：①兩點(diǎn)距離公式：，，35；②中點(diǎn)坐標(biāo)公式：，，則線段的中點(diǎn)；③點(diǎn)到直線距離公式：，，則點(diǎn)到直線的距離；④兩平行直線間的距離公式：，，則平行直線與之間的距離；⑤到角公式：（補(bǔ)充）直線到直線的角為，，則.（兩傾斜角差的正切）二、直線與圓，圓與圓基礎(chǔ)：1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：；確定圓的兩個(gè)要素

2、：圓心，半徑；2、圓的一般方程：，（）；3、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：點(diǎn)在圓內(nèi)；點(diǎn)在圓上；點(diǎn)在圓外；4、直線與圓的位置關(guān)系：從幾何角度看：令圓心到直線的距離為，35相離；相切；相交；若直線與圓相交于兩點(diǎn)，，則弦長；從代數(shù)角度看：聯(lián)立與圓，消去（或）得一元二次方程，，相離；相切；相交；相交時(shí)的弦長.5、圓與圓的位置關(guān)系：相離，外切，相交，內(nèi)切，內(nèi)含.圓；圓，根據(jù)這三個(gè)量之間的大小關(guān)系來確定：，，；相離；外切；相交；內(nèi)切；內(nèi)含；6、兩圓①；圓②若相交，則相交弦所在的直線方程的求法：交軌法：①式②式，整理化簡即可得到相交弦所在直線方程.35三、橢圓：1、（第一）定義：；2、橢

3、圓標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率：焦點(diǎn)在軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：；長半軸；：短半軸；半焦距.橢圓中，，的關(guān)系：；橢圓的離心率.3、弦長公式：直線與橢圓交于兩點(diǎn)，，則相交時(shí)的弦長.弦長公式是由兩點(diǎn)距離公式與兩點(diǎn)斜率公式推導(dǎo)出來，故適用性比較廣。4、中點(diǎn)弦結(jié)論（點(diǎn)差法）：橢圓上的兩點(diǎn)，，弦的中點(diǎn)，35則.5、焦點(diǎn)三角形面積：橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)是橢圓上除左、右端點(diǎn)外的一點(diǎn)，令，則：.該公式是由三角形面積公式、橢圓第一定義、余弦定理結(jié)合三角恒等變換推導(dǎo)出來。6、直線與橢圓位置關(guān)系：聯(lián)立與橢圓，消去（或）得一元二次方程，，相離；相切；相交；7、與點(diǎn)坐標(biāo)相關(guān)的面積公式：，，，點(diǎn)，，

4、不在一條直線上，則：.該公式是由三角形面積公式、余弦定理結(jié)合三角恒等式推導(dǎo)出。四、雙曲線：（類比橢圓來學(xué)習(xí)雙曲線）1、定義：；2、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率、漸近線方程：焦點(diǎn)在軸上的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為：；35實(shí)半軸；：虛半軸；半焦距.雙曲線中，，的關(guān)系：；雙曲線的離心率；焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的漸近線方程為；焦點(diǎn)到漸近線的距離.焦點(diǎn)在軸上的雙曲線相關(guān)性質(zhì)可以類比。3、弦長公式：直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，，則相交時(shí)的弦長.4、中點(diǎn)弦結(jié)論（點(diǎn)差法）：雙曲線上的兩點(diǎn)，，弦的中點(diǎn)，則.5、焦點(diǎn)三角形面積：雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)是雙曲線上除左、右端點(diǎn)外的一點(diǎn)，令，則：.6、直線與

5、雙曲線位置關(guān)系：①當(dāng)直線與雙曲線的其中一條漸近線重合時(shí)，顯然直線與雙曲線無交點(diǎn)；②當(dāng)直線與雙曲線的其中一條漸近線平行時(shí)，有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，35此時(shí)聯(lián)立直線方程與雙曲線方程，會(huì)得到一個(gè)一次方程（二次項(xiàng)系數(shù)為0）；③當(dāng)直線與雙曲線的漸近線既不平行也不重合時(shí)，此時(shí)聯(lián)立直線方程與雙曲線方程，消去（或）得一元二次方程，，相離；相切；相交；五、拋物線：1、定義：（到定點(diǎn)的距離等于到定直線的距離的這樣的點(diǎn)的軌跡即為拋物線）.拋物線圖12、標(biāo)準(zhǔn)方程：（開口朝右的拋物線，開口朝其它方向的拋物線方程及其它性質(zhì)可以類比。）焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，離心率.3、常見性質(zhì)：①普通的弦長公式：直線與拋物

6、線相交于兩點(diǎn)，，則相交時(shí)的弦長.拋物線圖235②過焦點(diǎn)的特殊弦長公式及與：（i）若弦過焦點(diǎn)，則弦長（為傾斜角）；（ii），.③過拋物線的頂點(diǎn)作兩條互相垂直的射線、分別與拋物線交于兩點(diǎn)，，弦與軸交于點(diǎn)，則，即：.反之亦然，即：若，則.4、拋物線中過焦點(diǎn)弦的其它性質(zhì)（補(bǔ)充，作為了解,切記不能死記硬背。如死記硬背，如下知識(shí)點(diǎn)不如不用掌握。可以嘗試證明。）設(shè)是過拋物線焦點(diǎn)的弦，，，如圖（拋物線圖2），則：①；②；③以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；④；⑤以或?yàn)橹睆降膱A與軸相切.5、直線與拋物線的位置關(guān)系：①若直線與拋物線的對(duì)稱軸平行或重合，則有一個(gè)交點(diǎn)；②若直線與拋物線的對(duì)稱軸不

7、平行，也不垂直，則根據(jù)判別式的符號(hào)來確定交點(diǎn)個(gè)數(shù)；③若直線與拋物線的對(duì)稱軸垂直，畫圖數(shù)形結(jié)合很容易判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)。35六、圓錐曲線的統(tǒng)一定義（第二定義）：到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之比為定值，這樣的點(diǎn)的軌跡為圓錐曲線。（i）若，軌跡為橢圓.例如：定點(diǎn)為左焦點(diǎn)，定直線為左準(zhǔn)線，離心率；（ii）若，軌跡為拋物線.（iii）若，軌跡為雙曲線.七、圓錐曲線（橢圓與雙曲線、圓）的第三定義到兩定點(diǎn),的斜率之積為定值.例如：橢圓，左、右端點(diǎn)，，橢圓上除左、右端點(diǎn)外任意一點(diǎn)，則.八、橢圓、雙曲線及拋物線的光學(xué)性質(zhì).圓錐曲線大題常見題型（歸納總結(jié)）：題型一、求點(diǎn)的軌跡問題：常見方

8、法：①直接法：（設(shè)出所求