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《關(guān)于一類動點最值問題的探討》由會員上傳分享,免費在線閱讀,更多相關(guān)內(nèi)容在學(xué)術(shù)論文-天天文庫。
1、關(guān)于一類動點最值問題的探討隨著新課標的全面實施,人人學(xué)有價值的數(shù)學(xué)已深入人心。近幾年來,動點最值問題頻頻出現(xiàn)在各地中考、競賽試卷中。這類試題突出了對學(xué)生基本數(shù)學(xué)素質(zhì)的測試,加強了探究和創(chuàng)新意識,培養(yǎng)了學(xué)生靈活運用知識解決實際問題能力,對學(xué)生思維能力的提高有較大的幫助,解這類題目要“以靜制動”,即把動態(tài)問題,變?yōu)殪o態(tài)問題來解。本文試從以下幾個方面對這類問題作一些簡單的探討?! ∫?、題中出現(xiàn)一個動點?! ?.知L為一條公路,A、B為公路兩旁的兩個村莊,現(xiàn)在公路上建一家商店,問建在何處時商店到兩村莊到商店距離和最小? 分析:作B關(guān)于L的對稱點B’, 有MB=MB,于是MAMB=MAMB’≥AB
2、 (當且僅當從運動到AB’和L的交點M’ 時等號成立),建在M’點符合條件?! ?.如圖,AB為⊙O直徑,AB=2,OC為半徑,OC⊥AB,D為AC三等分點,點P為OC上的動點,求APPD的最小值?! 》终郏鹤鱀關(guān)于OC的對稱點D’, 于是有PAPD’≥AD’,(當且僅當P 運動到Po處,等號成立,易求AD’=?! ?.在正方形ABCD中,點E為AB上一定點,且BE=10,CE=14,P為BD上一動點,求PEPC最小值。(2006全國初中數(shù)學(xué)競賽浙江決賽) 分析:作E關(guān)于BD對稱點E’,E’在AB上, 有PEPC=PE’PC≥E’C易求E’C=26。 4.如圖,正方形ABCD邊長為
3、16,P、Q分別是BC、CD上的定點,且BP=3,DQ=1,E為對角線上一動點,求EPEQ最小值。 分析:作Q關(guān)于BD對稱點Q’ EPEQ=EPEQ'≥PQ’過Q’作Q’M⊥BC,易求 5.正三角形ABC邊長為a,D為BC的中點,P是AC邊是的動點,連結(jié)PB,PD得到△PBD求: (1)當點P運動到AC的中點時,△PBD的周長?! 。?)△PBD的周長的最小值。(第十六屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽,初二) 分折:(1)易求△PBD周長為 (2)作B關(guān)于AC所在直線的對稱點B’, 易求△PBD周長的最小值為 6.L為直線,當A、B在L異側(cè)(且A、B到L距離不相等),求
4、MA-MB
5、
6、最大值?! 》治觯鹤鯞關(guān)于L對稱點B’. ∣MA-MB∣=∣MB’-MA∣≤AB’(當且 僅當M運動到AB’和L交點時MO時等號成立) 7.如圖,兩點A,B在直線L的同側(cè),A到L距離為AC=8,B到L的距離為BD=5,CD=4,點P在直線L上運動.則∣PA-PB∣最大值為____.(第十屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽初二) 分折:∣PA-PB∣≤AB,(當P運動到 AB延長線和L交點時PO等號成立),過 B作BE⊥AC于E,易得. 小結(jié):上述幾題中,只出現(xiàn)一個動點,當題中只出現(xiàn)一個動點時,可作定點關(guān)于動點所在直線的對稱點,利用兩點之間線段最短,或三角形兩邊之和小于第三邊求出最值.
7、二、題中出現(xiàn)兩個動點?! ?.在直角坐標系中有四個點,A(-8,3),B(-4,5)C(0,n),D(m,0),當四邊形ABCD周長最短時,求(2002年湖北選拔賽) 分折:因AB長為定值,四邊形周長 最短時有BCCDDA最短,作B關(guān)于y 軸對稱點B’,A關(guān)于x軸對稱點A’, DADCBC=DA’DCB’C≥B’A’(當D,C運動到AB和x軸y軸的交點時等號成立),易求直線A’B’解折式y(tǒng)=,C0(0,),D0(-,0),此時=- 9.知和y軸交于點A(0,,3),和x軸交于B(1,0),C(5,0),求(1):此拋物線的解折式,(2)若一動點P自O(shè)A中點M出發(fā),先到x軸上某點,設(shè)為
8、E,再到拋物線對稱軸上某點F,最后運動到A,求使P點運動總路程最短的點E和點F坐標,并求最短路徑長(2006年北京中考)?! 》终郏阂浊螅?) ?。?)當P經(jīng)過路線長最短時,P必走直線,即MEEFFA最短,作A關(guān)于x=3對稱點A’(6,3),M關(guān)于x軸的對稱點M’(0.-3/2)于是有MEEFFA=MEEFFA≥A’M’(當且僅當EF運動到E0F0時等號成立),易求直線A’M’解折式為,E0(),F0()于是,由勾股定理求得: 10.如圖:在△ABC中,∠A=,MN分別AB,AC上動點,求BNMNMC最小值(2003年余姚中學(xué)保送生測試) 分折:作B關(guān)于AC對稱點B’,C關(guān)于 AB對稱點
9、C’,有BNMNNC=B’NMNMC’≥B’C’(當M,N運動到M0,N0時等號成立),因∠A=,那么∠C’AB=∠A=∠B’AC,所以∠C’AB’=,AC’=AB’=AB=AC=20,所以△AC’B’為正三角形,所以B’C’=20. 小結(jié):綜上可知,當題中出現(xiàn)兩個定點和兩個動點時,應(yīng)作兩次定點關(guān)于動點所在直線的對稱點.利用兩點之間線段最短求出最值! 三、題中出現(xiàn)三個動點時?! ?1.如圖,在