一類距離最值問題的探討

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1、一類距離最值問題的探討湖北省咸寧高級中學(xué)陳小燕437000在平面解析幾何中有一類有關(guān)距離最值的問題是高考考查的重點(diǎn)和難點(diǎn)，其研究的方法多而雜往往不易被學(xué)生掌握，而研究解析幾何距離的最值問題大多是以計(jì)算為出發(fā)點(diǎn)，因?yàn)榉椒ㄟx擇的問題造成計(jì)算量過大，很多學(xué)生最后的表現(xiàn)是“有思路，沒出路”，筆者通過對各種距離最值問題的分析，不難發(fā)現(xiàn)它們之間存在著一些規(guī)律，本文就一類定點(diǎn)到曲線上的動(dòng)點(diǎn)之間的距離的最值問題作些探討，供參考。類型一定點(diǎn)與直線上點(diǎn)的距離最值例1、已知定點(diǎn)點(diǎn)在直線上，求的最值。解析:在直線外根據(jù)幾何意義只有最小值評析：定點(diǎn)到直線上點(diǎn)的距離實(shí)質(zhì)就是點(diǎn)到直線上的動(dòng)點(diǎn)之間距離的最小值。類型二定點(diǎn)

2、與圓上點(diǎn)的距離最值例2、求點(diǎn)到圓：上點(diǎn)A的最值。解析：圓：，圓心,半徑點(diǎn)在圓外點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最小值為點(diǎn)到圓C上點(diǎn)的距離的最大值為評析：定點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的距離有最大值也有最小值，基于圓的特殊性，定點(diǎn)到圓上動(dòng)點(diǎn)之間的距離的最值可轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)到圓心距離加半徑或減去半徑或半徑減去定點(diǎn)到圓心的距離，這要取決于點(diǎn)在圓內(nèi)還是點(diǎn)在圓外。類型三定點(diǎn)與橢圓上的點(diǎn)的距離最值例3、（1990年全國高考試題）設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長軸在x軸上，離心率=，已知點(diǎn)（0，）到這個(gè)橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離是。求這個(gè)橢圓的方程，并求橢圓上到點(diǎn)的距離等于的點(diǎn)的坐標(biāo)。解析：本小題考查橢圓的性質(zhì),距離公式,最大值知識以及分析問題的能力.解

3、法1:根據(jù)題設(shè)條件,可取橢圓的參數(shù)方程是（，0≤<2π）.由=可得即設(shè)橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離為,===-如果，即,則當(dāng)時(shí)（從而）有最大值，由題設(shè)得由此可得=1,=2.所求橢圓的參數(shù)方程是由可得，橢圓上的點(diǎn)點(diǎn)到點(diǎn)的距離都為。解法2:設(shè)所求橢圓的直角坐標(biāo)方程是由=可得即,設(shè)橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離為,則===其中如果,則當(dāng)時(shí)（從而）有最大值，由題設(shè)得由此得,與矛盾因此必有成立，于是當(dāng)=-時(shí)（從而）有最大值，由題設(shè)得由此可得=1,=2.所求橢圓的直角坐標(biāo)方程是由=-及求得的橢圓方程可得，橢圓上的點(diǎn)點(diǎn)到點(diǎn)的距離都為。評析：定點(diǎn)到定曲線上點(diǎn)的最值問題就復(fù)雜得多，就橢圓而言，若定點(diǎn)與焦點(diǎn)共線，且在長軸之外時(shí)

4、，此時(shí)距離最值即為長軸頂點(diǎn)處取得；除此以外距離的最值要取決于點(diǎn)與橢圓的相對位置有時(shí)也和離心率有關(guān)。類型四定點(diǎn)與雙曲線上的點(diǎn)距離最值例4、曲線C:=()與軸的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)成為“望點(diǎn)”，以“望點(diǎn)”為圓心，凡是與曲線C有公共點(diǎn)的圓皆成為“望圓”。則當(dāng)時(shí)，所有的“望圓”中，面積最小的“望圓”的面積為多少？分析：實(shí)際上是求和曲線=有交點(diǎn)的圓中的最小值，即可轉(zhuǎn)化成求曲線=上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。根據(jù)曲線的奇偶性我們知道這個(gè)距離是（0,1）到（0，-1）的距離的平方2和（0，1）到上任一點(diǎn)的距離中的小者。解析：解法1:令點(diǎn)(x,y)（x>0）為上任一點(diǎn)，則y=(y>0)∴r=x+(y-1)=x+()

5、=(x)()+2x-1≥2(x)()+2x-1=2(2-x)+2x-1=3(當(dāng)且僅當(dāng)x-1=即x=時(shí)取等號)∴r=∴最小望圓的面積為3解法2：令(x,y)（x>0）為上任一點(diǎn)，則x=+1（y>0）∴r=x+(y-1)=(+1)+(y-1)(展開后用不了重要不等式)令Z=(+1)+(y-1)(y>0)Z==0得y=則Z在（0，）上單調(diào)遞減，在（，+∞）上單調(diào)遞增∴y=時(shí)r=解法3：（在解法2中有這么多的平方，還可以想辦法配方）令(x,y)（x>0）為上任一點(diǎn)，則x=+1（y>0）∴r=x+(y-1)=(+1)+(y-1)=（-y）+2（-y）+4=（-y+1）+3∴當(dāng)且僅當(dāng)-y+1=0即y=

6、時(shí)r=評析：就定點(diǎn)到雙曲線上的點(diǎn)的距離的最值而言，也得取決于它們的相對位置，最值的求法也是多種多樣，解法1中的式子的最值看起來只能用導(dǎo)數(shù)，但太繁瑣了，但用重要不等式卻很簡便。解法2是我們最常用的求最值的方法，但這樣的換元不常規(guī)，主要是考慮到結(jié)果的式子的結(jié)構(gòu)用y表示更簡潔，結(jié)果不能用重要不等式來解決，用配方很經(jīng)典。通過上述四例的研究，不難看出列出求解距離最值的計(jì)算式是解題的出發(fā)點(diǎn)，關(guān)鍵是接下來如何有效利用函數(shù)的思想或是不等式的性質(zhì)進(jìn)行后續(xù)的研究成為了破題的關(guān)鍵，當(dāng)然對于解析幾何計(jì)算量大，往往還沒開始算就有自我暗示算不出的這一畏難心態(tài)，需要學(xué)生在解題過程中不斷磨練心理品質(zhì)，逐步提高解決解析幾何

7、問題的自信心與能力。（聯(lián)系方式：湖北省咸寧市咸寧高級中學(xué)郵編：437000電話：陳小燕15997974227郵箱：chenxiaoyan5608@163.com）