2.3反函數(shù)的導(dǎo)數(shù),復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

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1、§2.3反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則一、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)是直接函數(shù)，是它的反函數(shù)，假定在內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)，而且，則反函數(shù)在間內(nèi)也是單調(diào)、可導(dǎo)的，而且(1)證明：，給以增量由在上的單調(diào)性可知于是因直接函數(shù)在上單調(diào)、可導(dǎo)，故它是連續(xù)的，且反函數(shù)在上也是連續(xù)的，當(dāng)時，必有即：【例1】試證明下列基本導(dǎo)數(shù)公式證1、設(shè)為直接函數(shù)，是它的反函數(shù)函數(shù)在上單調(diào)、可導(dǎo)，且因此，在上，有注意到，當(dāng)時，，因此，證2設(shè)，則，在上單調(diào)、可導(dǎo)且故證3類似地，我們可以證明下列導(dǎo)數(shù)公式：二、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則如果在點可導(dǎo)，而在點可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)在點可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)為證明：因，由極限與無窮小的關(guān)系，有用去除上式兩邊得：由在的可導(dǎo)性有

2、：，即上述復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可作更一般的敘述：若在開區(qū)間可導(dǎo)，在開區(qū)間可導(dǎo)，且時，對應(yīng)的，則復(fù)合函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)，且(2)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則是一個非常重要的法則，特給出如下注記：弄懂了鎖鏈規(guī)則的實質(zhì)之后，不難給出復(fù)合更多層函數(shù)的求導(dǎo)公式。【例2】，求引入中間變量，設(shè)，，于是變量關(guān)系是，由鎖鏈規(guī)則有：(2)、用鎖鏈規(guī)則求導(dǎo)的關(guān)鍵引入中間變量，將復(fù)合函數(shù)分解成基本初等函數(shù)。還應(yīng)注意：求導(dǎo)完成后，應(yīng)將引入的中間變量代換成原自變量。【例3】求的導(dǎo)數(shù)。解：設(shè)，則，，由鎖鏈規(guī)則有：【例4】設(shè)，求。由鎖鏈規(guī)則有(基本初等函數(shù)求導(dǎo))(消中間變量)由上例，不難發(fā)現(xiàn)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)竅門中間變量在求導(dǎo)過程中，只是起過渡作用

3、，熟練之后，可不必引入，僅需“心中有鏈”。然后，對函數(shù)所有中間變量求導(dǎo)，直至求到自變量為止，最后諸導(dǎo)數(shù)相乘。請看下面的演示過程：【例5】證明冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，(為實數(shù))。證明：設(shè)