反函數、復合函數的求導法則

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1、一、反函數的導數二、復合函數的求導法則基本初等函數的導數公式小結三、求導法則小結2反函數、復合函數的求導法則上頁下頁?結束返回首頁一、反函數的導數如果函數x=j(y)在某區(qū)間Iy內單調、可導且j?(y)?0，那么它的反函數y=f(x)在對應區(qū)間Ix內也可導，并且簡要證明：因為y=f(x)連續(xù)，所發(fā)當Dx?0時，Dy?0。下頁例1．求(arcsinx)?及(arccosx)?。一、反函數的導數如果函數x=j(y)在某區(qū)間Iy內單調、可導且j?(y)?0，那么它的反函數y=f(x)在對應區(qū)間Ix內也可導

2、，并且解：因為y=arcsinx是x=siny的反函數，所以下頁例2．求(arctanx)?及(arccotx)?。一、反函數的導數如果函數x=j(y)在某區(qū)間Iy內單調、可導且j?(y)?0，那么它的反函數y=f(x)在對應區(qū)間Ix內也可導，并且解：因為y=arctanx是x=tany的反函數，所以下頁(1)(C)?=0，(2)(xm)?=mxm-1，(3)(sinx)?=cosx，(4)(cosx)?=-sinx，(5)(tanx)?=sec2x，(6)(cotx)?=-csc2x，(7)(se

3、cx)?=secxtanx，(8)(cscx)?=-cscxcotx，(9)(ax)?=axlna，(10)(ex)?=ex，基本初等函數的導數公式小結：，上頁二、復合函數的求導法則如果u=j(x)在點x0可導，函數y=f(u)在點u0=j(x0)可導，則復合函數y=f[j(x)]在點x0可導，且其導數為假定u=j(x)在x0的某鄰域內不等于常數，則Du?0，此時有簡要證明：=f?(u0)?j?(x0)。下頁二、復合函數的求導法則如果u=j(x)在點x0可導，函數y=f(u)在點u0=j(x0)可導

4、，則復合函數y=f[j(x)]在點x0可導，且其導數為如果u=j(x)在開區(qū)間Ix內可導，y=f(u)在開區(qū)間Iu內可導，且當x?Ix時，對應的u?Iu，那么復合函數y=f[j(x)]在區(qū)間Ix內可導，且下式成立：下頁復合函數的求導法則：解：函數y=lntanx是由y=lnu，u=tanx復合而成，下頁復合函數的求導法則：下頁復合函數的求導法則：下頁復合函數的求導法則：對復合函數求導法則比較熟練以后，就不必再寫出中間變量。下頁復合函數的求導法則：下頁復合函數的求導法則：復合函數求導法則可以推廣到多個

5、函數的復合。下頁復合函數的求導法則：下頁解：y?=(sinnx)?sinnx+sinnx?(sinnx)?=ncosnx?sinnx+sinnx?n?sinn-1x?(sinx)?=ncosnx?sinnx+nsinn-1x?cosx=nsinn-1x?sin(n+1)x。復合函數的求導法則：上頁函數的和、差、積、商的求導法則：(1)(u?v)?=u??v?，(2)(Cu)?=Cu?(C是常數)，(3)(uv)?=u?v+uv?，復合函數的求導法則：反函數求導法：三、求導法則小結結束