函數(shù)圖像及其變換解讀

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1、函數(shù)圖像及其變換上海師范大學(xué)附屬外國(guó)語(yǔ)中學(xué)李慶兵函數(shù)是整個(gè)高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，高中階段對(duì)函數(shù)性質(zhì)的研究往往是通過(guò)研究函數(shù)圖像及其變換得到的，所以函數(shù)圖像及其變換也就成為高考的固定考點(diǎn)。歷年高考考試大綱中都明確要求，學(xué)生要“會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖像理解和研究函數(shù)的性質(zhì)”，并且與前幾年比較可以發(fā)現(xiàn)，近幾年高考對(duì)于函數(shù)圖像方面的考查已經(jīng)不再局限于對(duì)幾個(gè)常見(jiàn)函數(shù)本身的單一的考查，而是結(jié)合函數(shù)的運(yùn)算，更為深刻地考查函數(shù)與函數(shù)、函數(shù)與方程、函數(shù)與不等式、函數(shù)與其他學(xué)科或現(xiàn)實(shí)生活等方面的聯(lián)系。這就要求我們不僅要熟練掌握一些基本函數(shù)的圖像特征及函數(shù)圖像變換的幾種常見(jiàn)方法，而且要

2、會(huì)靈活運(yùn)用。下面筆者就結(jié)合近幾年的一些高考試題，談一些函數(shù)圖像及其變換和應(yīng)用方面的問(wèn)題，希望能引起正在忙于備考的高三教師和學(xué)子們的重視，并給他們帶來(lái)一些啟發(fā)。（一）平移變換及其應(yīng)用：函數(shù)的圖像可以看作是由函數(shù)的圖像先向左＞0）或向右（＜0）平移個(gè)單位，再向上＞0）或向下（＜0）平移個(gè)單位得到。如：例1、（2008上海理11）方程的解可視為函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。若方程的各個(gè)實(shí)根所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)均在直線的同側(cè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是。P（圖一）（圖二）分析：由題意，方程的解可視為函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。這些交點(diǎn)可以看作是由函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)上下平

3、移得到，由圖（1）可知，函數(shù)與函數(shù)的圖象分別交于點(diǎn)P、Q，且點(diǎn)P在直線上方，點(diǎn)Q在直線下方，要使得方程的各個(gè)實(shí)根所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)6均在直線的同側(cè)，只須將函數(shù)圖像上下平移，將點(diǎn)Q移至函數(shù)圖像與直線交點(diǎn)A左側(cè)或?qū)Ⅻc(diǎn)P移至函數(shù)圖像與直線交點(diǎn)B右側(cè)即可。將點(diǎn)A與點(diǎn)B坐標(biāo)分別代入方程解得或。從而可得實(shí)數(shù)的取值范圍是＞6或＜－6。（二）伸縮變換及其應(yīng)用：函數(shù)的圖像可以看作是由函數(shù)的圖像先將橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)＜1）或縮短＞1）到原來(lái)的倍，再把縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)＞1）或縮短＜1）到原來(lái)的倍即可得到。如：例2、（2008上海文11）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為。如果是△ABC圍成的區(qū)域（

4、含邊界）上的點(diǎn)，那么當(dāng)取得最大值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是。分析：由變形可得，則問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為當(dāng)函數(shù)的圖象與△ABC圍成的區(qū)域（含邊界）有公共點(diǎn)時(shí)求的最大值的問(wèn)題。由函數(shù)圖像伸縮變換的規(guī)律可知，的值越大，則函數(shù)圖象上點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)越大，即圖像整體越向上移動(dòng)，由此可以判定，當(dāng)取得最大值時(shí)，函數(shù)的圖象與△ABC的邊BC相切或過(guò)經(jīng)點(diǎn)C。下面求點(diǎn)P的坐標(biāo)。法一：由線段BC與函數(shù)的解析式聯(lián)立方程組可得消去得方程，由判別式△=0解得，此時(shí)，從而得點(diǎn)。即所求點(diǎn)P的坐標(biāo)是。法二：線段BC的方程為：，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即所以所求點(diǎn)P的坐標(biāo)是。（三）對(duì)稱(chēng)變換：6函數(shù)當(dāng)中，圖像關(guān)于某點(diǎn)或某條直

5、線對(duì)稱(chēng)的情況較多，除函數(shù)的奇偶性、互為反函數(shù)的兩函數(shù)與對(duì)稱(chēng)性有關(guān)之外，還經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)其他一些情況，這就需要我們能夠掌握“以點(diǎn)代線”的數(shù)學(xué)方法對(duì)具體情況進(jìn)行分析。常見(jiàn)情況有以下幾種。1、關(guān)于特殊直線的軸對(duì)稱(chēng)變換：；；（兩者互為反函數(shù)）；2、關(guān)于特殊點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)變換：；3、局部對(duì)稱(chēng)變換：注：以上為兩個(gè)函數(shù)圖像之間的關(guān)系。4、自身對(duì)稱(chēng)變換：若函數(shù)y=f（x）滿(mǎn)足則函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱(chēng)。特別地，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為偶函數(shù)。若函數(shù)y=f（x）滿(mǎn)足，則函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)。即函數(shù)為奇函數(shù)。例3、（2005上海理16）設(shè)定義域?yàn)榈暮瘮?shù)則關(guān)于x

6、的方程有7個(gè)不同實(shí)數(shù)解的充要條件是（）A、＜0且＞0B、＞0且＜0C、＜0且D、且。（圖三）（圖四）分析：函數(shù)的圖像是由函數(shù)的圖像先向右平移一個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像，再將函數(shù)的圖像位于軸上方部分保持不變，下方的部分關(guān)于軸通過(guò)局部對(duì)稱(chēng)得到。又因?yàn)?，所以由（圖三）可知，函數(shù)圖像與軸有三個(gè)公共點(diǎn)。6方程中，若＜0且，則由可得或。結(jié)合函數(shù)圖像易知，方程有三個(gè)不同的解，方程有四個(gè)不同的解，即方程有7個(gè)不同實(shí)數(shù)解。所以選C。值得一提的是，在高考當(dāng)中，對(duì)函數(shù)圖像的考查，并不一定考查某一單一的變換，有時(shí)可能是幾種變換同時(shí)考查。如：例4、（2003上海理16）是定義在區(qū)間

7、上的奇函數(shù)，其圖像如圖（四），令，則下列關(guān)于函數(shù)的敘述正確的是（）（A）若＜0，則函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；（B）若，0＜b＜2，則方程有大于2的實(shí)根；（C）若，b=0，則函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；（D）若，b=2，則方程有3個(gè)實(shí)根。分析：由圖（2）知，若b≠0，則，此時(shí)的圖像不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以A選擇支不符合題意。當(dāng)時(shí)，的圖像可由的圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，再向下平移個(gè)單位得到。此時(shí)＜0，而，∵＞2，而b＞－2，∴＞0。所以，方程在（2，c）內(nèi)必有實(shí)根，所以B選擇支正確，故選B。當(dāng)＜1且b=2時(shí)，方程至多有一個(gè)實(shí)根，所以C選擇支不符合題意。又當(dāng)b≤－2時(shí)，方程g（x

8、）=0的實(shí)根少于三個(gè)，所以D選擇支也不符合題意。（四）旋轉(zhuǎn)變換：圖像的旋轉(zhuǎn)變換可