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《函數(shù)圖像與變換解讀》由會(huì)員上傳分享,免費(fèi)在線閱讀,更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫(kù)。
1、word資料下載可編輯函數(shù)圖像及其變換上海師范大學(xué)附屬外國(guó)語(yǔ)中學(xué)李慶兵函數(shù)是整個(gè)高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn),高中階段對(duì)函數(shù)性質(zhì)的研究往往是通過(guò)研究函數(shù)圖像及其變換得到的,所以函數(shù)圖像及其變換也就成為高考的固定考點(diǎn)。歷年高考考試大綱中都明確要求,學(xué)生要“會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖像理解和研究函數(shù)的性質(zhì)”,并且與前幾年比較可以發(fā)現(xiàn),近幾年高考對(duì)于函數(shù)圖像方面的考查已經(jīng)不再局限于對(duì)幾個(gè)常見函數(shù)本身的單一的考查,而是結(jié)合函數(shù)的運(yùn)算,更為深刻地考查函數(shù)與函數(shù)、函數(shù)與方程、函數(shù)與不等式、函數(shù)與其他學(xué)科或現(xiàn)實(shí)生活等方面的聯(lián)系。這就要求我們不僅要熟練掌握一些基本函數(shù)的圖像特征及函數(shù)圖像變換的幾種常見方法,而且要會(huì)靈活運(yùn)用。下
2、面筆者就結(jié)合近幾年的一些高考試題,談一些函數(shù)圖像及其變換和應(yīng)用方面的問(wèn)題,希望能引起正在忙于備考的高三教師和學(xué)子們的重視,并給他們帶來(lái)一些啟發(fā)。(一)平移變換及其應(yīng)用:函數(shù)的圖像可以看作是由函數(shù)的圖像先向左>0)或向右(<0)平移個(gè)單位,再向上>0)或向下(<0)平移個(gè)單位得到。如:例1、(2008上海理11)方程的解可視為函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。若方程的各個(gè)實(shí)根所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)均在直線的同側(cè),則實(shí)數(shù)的取值范圍是。P(圖一)(圖二)分析:由題意,方程的解可視為函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。這些交點(diǎn)可以看作是由函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)上下平移得到,由圖(1)可知,函數(shù)與函數(shù)的圖象分別交于點(diǎn)
3、P、Q,且點(diǎn)P在直線上方,點(diǎn)Q在直線下方,要使得方程的各個(gè)實(shí)根所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)專業(yè)技術(shù)資料word資料下載可編輯均在直線的同側(cè),只須將函數(shù)圖像上下平移,將點(diǎn)Q移至函數(shù)圖像與直線交點(diǎn)A左側(cè)或?qū)Ⅻc(diǎn)P移至函數(shù)圖像與直線交點(diǎn)B右側(cè)即可。將點(diǎn)A與點(diǎn)B坐標(biāo)分別代入方程解得或。從而可得實(shí)數(shù)的取值范圍是>6或<-6。(二)伸縮變換及其應(yīng)用:函數(shù)的圖像可以看作是由函數(shù)的圖像先將橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)<1)或縮短>1)到原來(lái)的倍,再把縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)>1)或縮短<1)到原來(lái)的倍即可得到。如:例2、(2008上海文11)在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)的坐標(biāo)分別為。如果是△ABC圍成的區(qū)域(含邊界)上的點(diǎn),那么當(dāng)取得最大值時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)是。分析
4、:由變形可得,則問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為當(dāng)函數(shù)的圖象與△ABC圍成的區(qū)域(含邊界)有公共點(diǎn)時(shí)求的最大值的問(wèn)題。由函數(shù)圖像伸縮變換的規(guī)律可知,的值越大,則函數(shù)圖象上點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)越大,即圖像整體越向上移動(dòng),由此可以判定,當(dāng)取得最大值時(shí),函數(shù)的圖象與△ABC的邊BC相切或過(guò)經(jīng)點(diǎn)C。下面求點(diǎn)P的坐標(biāo)。法一:由線段BC與函數(shù)的解析式聯(lián)立方程組可得消去得方程,由判別式△=0解得,此時(shí),從而得點(diǎn)。即所求點(diǎn)P的坐標(biāo)是。法二:線段BC的方程為:,則,當(dāng)且僅當(dāng),即所以所求點(diǎn)P的坐標(biāo)是。(三)對(duì)稱變換:專業(yè)技術(shù)資料word資料下載可編輯函數(shù)當(dāng)中,圖像關(guān)于某點(diǎn)或某條直線對(duì)稱的情況較多,除函數(shù)的奇偶性、互為反函數(shù)的兩函數(shù)與對(duì)稱
5、性有關(guān)之外,還經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)其他一些情況,這就需要我們能夠掌握“以點(diǎn)代線”的數(shù)學(xué)方法對(duì)具體情況進(jìn)行分析。常見情況有以下幾種。1、關(guān)于特殊直線的軸對(duì)稱變換:;;(兩者互為反函數(shù));2、關(guān)于特殊點(diǎn)的對(duì)稱變換:;3、局部對(duì)稱變換:注:以上為兩個(gè)函數(shù)圖像之間的關(guān)系。4、自身對(duì)稱變換:若函數(shù)y=f(x)滿足則函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱。特別地,當(dāng)時(shí),函數(shù)為偶函數(shù)。若函數(shù)y=f(x)滿足,則函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱。即函數(shù)為奇函數(shù)。例3、(2005上海理16)設(shè)定義域?yàn)榈暮瘮?shù)則關(guān)于x的方程有7個(gè)不同實(shí)數(shù)解的充要條件是()A、<0且>0B、>0且<0C、<0且D、且。(圖三)(
6、圖四)分析:函數(shù)的圖像是由函數(shù)的圖像先向右平移一個(gè)單位,得到函數(shù)的圖像,再將函數(shù)的圖像位于軸上方部分保持不變,下方的部分關(guān)于軸通過(guò)局部對(duì)稱得到。又因?yàn)?,所以由(圖三)可知,函數(shù)圖像與軸有三個(gè)公共點(diǎn)。專業(yè)技術(shù)資料word資料下載可編輯方程中,若<0且,則由可得或。結(jié)合函數(shù)圖像易知,方程有三個(gè)不同的解,方程有四個(gè)不同的解,即方程有7個(gè)不同實(shí)數(shù)解。所以選C。值得一提的是,在高考當(dāng)中,對(duì)函數(shù)圖像的考查,并不一定考查某一單一的變換,有時(shí)可能是幾種變換同時(shí)考查。如:例4、(2003上海理16)是定義在區(qū)間上的奇函數(shù),其圖像如圖(四),令,則下列關(guān)于函數(shù)的敘述正確的是()(A)若<0,則函數(shù)的圖像關(guān)于原
7、點(diǎn)對(duì)稱;(B)若,0<b<2,則方程有大于2的實(shí)根;(C)若,b=0,則函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱;(D)若,b=2,則方程有3個(gè)實(shí)根。分析:由圖(2)知,若b≠0,則,此時(shí)的圖像不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以A選擇支不符合題意。當(dāng)時(shí),的圖像可由的圖像關(guān)于軸對(duì)稱,再向下平移個(gè)單位得到。此時(shí)<0,而,∵>2,而b>-2,∴>0。所以,方程在(2,c)內(nèi)必有實(shí)根,所以B選擇支正確,故選B。當(dāng)<1且b=2時(shí),方程至多有一個(gè)實(shí)根,所以C選擇支