近世代數(shù)課程總結(jié)

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1、近世代數(shù)基礎(chǔ)II學(xué)習(xí)報(bào)告現(xiàn)代數(shù)學(xué)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的主要研宄方向?yàn)榻Y(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)，結(jié)構(gòu)反映事物構(gòu)成部分之間的關(guān)系，部分與整體的關(guān)系，或幾種事物間的相互組成聯(lián)系。現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)是集合，在集合上附加代數(shù)結(jié)構(gòu)、分析結(jié)構(gòu)和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)或集合結(jié)構(gòu)得到數(shù)學(xué)的各種分支。木門課程的主要學(xué)習(xí)內(nèi)容就是以集合理論為基礎(chǔ)而逐步展開的。群論是在集合上賦予運(yùn)算法則，形成群、環(huán)、域等基本的運(yùn)算系統(tǒng)；流形同樣是在集合上賦予和應(yīng)的結(jié)構(gòu)而形成具有獨(dú)特性質(zhì)的數(shù)學(xué)研宄對(duì)象。這些抽象的理論往往會(huì)在實(shí)際系統(tǒng)中得到應(yīng)用，用集合的思想去解決問(wèn)題往往會(huì)提升效率。抽象代數(shù)1.1群定義群是特殊的集

2、合，它是一個(gè)包含了二元運(yùn)算法則并滿足一定條件的集合。一般說(shuō)來(lái)，群G是指對(duì)于某種運(yùn)算法則*滿足以下四個(gè)條件的集合：(1)封閉性：若a，beG，則存在唯一確定的ceG使得=(2)結(jié)合律成立：任意a，b,ceG，有=;(3)單位元存在：存在G對(duì)任意託G，滿足==;(4)逆元存在：對(duì)任意t/eG，存在唯一確定的G使得;若群還滿足交換律，則成為交換群或者阿貝爾群。若群G屮元素個(gè)數(shù)有限，則G為有限群；否則稱為無(wú)限群。有限群的元素個(gè)數(shù)稱為有限群的階。子群對(duì)于群G,若集合HeG對(duì)于群G上定義的二元運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)群，則稱//是G的子群，記做H<

3、G。小結(jié)在群論的研宄中，我們需耍關(guān)心的是個(gè)元素之間的運(yùn)算關(guān)系，即群的結(jié)構(gòu)，而不用去管某個(gè)元素的具體含義是什么。1.2環(huán)當(dāng)在一個(gè)集合上附加兩種代數(shù)運(yùn)算，而這兩種運(yùn)算是有機(jī)集合，可得到所謂的環(huán)。定義設(shè)/?是一個(gè)非空集合，其上定義了兩種二元運(yùn)算，通常表示為加法+和乘法x，若(1)(/?，+)是交換群(2)(/?，x)是半群(3)乘法對(duì)加法滿足分配律則稱/?為一個(gè)環(huán)。環(huán)也是一種群。子環(huán)環(huán)的一個(gè)非空子集S，若對(duì)于的兩種運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)環(huán)，則稱S為/?的子環(huán)。整環(huán)設(shè)/?為含單位的環(huán)，丑1*0。若/?為沒(méi)有零因子的交換環(huán)，則稱/?為整環(huán)。1.

4、3域域也是一種環(huán)，要求x要滿足交換律，除了有+的單位元還要有x的單位元（二者不等），除了+的單位元外其他元素都有x的逆元。1.4群的應(yīng)用群是刻畫事物對(duì)稱性的有效工具，比如圖形的對(duì)稱、函數(shù)的對(duì)稱等。二微分幾何微分幾何學(xué)是運(yùn)用數(shù)學(xué)分析的理論研宄曲線或曲面上一點(diǎn)的鄰域的性質(zhì)，即研究一般曲線或曲面在小范圍上的性質(zhì)。它主要包含曲線論和曲面論。曲線論主要就是Frenet公式，曲面論主要是從曲面上曲線的弧長(zhǎng)公式推出曲面的第一基本形式（等距變換，保角變換，內(nèi)蘊(yùn)量的性質(zhì)），從曲面與切平面間的冇向距離推出第二基本形式，而曲率的推異順序是：曲面上

5、曲線的曲率、法曲率、主曲率、高斯曲率和平均曲率。微分幾何有兩個(gè)十分重要的基礎(chǔ)：坐.標(biāo)變換和求導(dǎo)的技巧。在學(xué)習(xí)微分幾何之前需要熟練運(yùn)用這兩個(gè)部分。標(biāo)架標(biāo)架，這一概念在張量分析的學(xué)習(xí)中曾經(jīng)涉及到。張量可以看作一個(gè)實(shí)體（幾何體，幾何量），這個(gè)實(shí)體由這組分量和分量所對(duì)應(yīng)的基共同構(gòu)成。通常說(shuō)的張量是不依賴于坐標(biāo)系的，而觀察者和標(biāo)架是等同的。用一個(gè)來(lái)標(biāo)系來(lái)充當(dāng)觀察者,再配上時(shí)間坐標(biāo)，標(biāo)架成為四維的。坐標(biāo)系和標(biāo)架（或者觀察者）是不同的，同一個(gè)標(biāo)架下可以觀察到多個(gè)“坐標(biāo)系”。測(cè)地線曲面上測(cè)地曲率恒等于零的曲線，稱為測(cè)地線。平面上的測(cè)地線就是

6、直線；測(cè)地線的概念就是平面上直線的概念在曲面上的推廣。曲面上的曲線，當(dāng)且僅當(dāng)它是直線或者它的主法向量處處是曲線的法向量時(shí)，它才是測(cè)地線。旋轉(zhuǎn)面上的經(jīng)線是測(cè)地線，球而上的大圓周是測(cè)地線。距離最短的曲線在相對(duì)論中的專業(yè)術(shù)語(yǔ)是測(cè)地線，事實(shí)上，相應(yīng)于速度小于C、等于c、大于c的三種測(cè)地線分別稱為類時(shí)測(cè)地線，類光測(cè)地線和類空測(cè)地線。三微分流形3.1微分流形的數(shù)學(xué)定義n維流形就是一個(gè)Hausdorff空間，它的每一點(diǎn)有開鄰域與n維歐式空間的開集同胚。微分流形是一類重要的拓?fù)淇臻g，它除了具有通常的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)外，還添加上了微分結(jié)構(gòu)，因而可以應(yīng)

7、用微積分學(xué)，從而就能建立一些微分幾何的性質(zhì)。3.2流形描述流形（Manifold）,是局部具有歐幾里得空間性質(zhì)的空間。流形在數(shù)學(xué)屮用于描述兒何形體，它們提供了研究可微性的自然的舞臺(tái)。物理上，經(jīng)典力學(xué)的相空間和構(gòu)造廣義相對(duì)論的吋空模型的四維偽黎曼流形都是流形的實(shí)例。3.3流形的應(yīng)用可以把經(jīng)典數(shù)學(xué)分析中的兒個(gè)著名公式，如格林公式、高斯公式、斯托克司公式等在高維的流形上，利用外微分，統(tǒng)一為一個(gè)形式?？臻g最最本質(zhì)的東西就是有關(guān)測(cè)度的概念。測(cè)度不同，導(dǎo)致空間定義，空間結(jié)構(gòu)和形式的不同。歐氏空間和黎曼空間的區(qū)別也在于此，有了測(cè)度的概念，

8、任何空間的構(gòu)型就可以被決定，對(duì)空間的研究也就不再成問(wèn)題。那么我們?cè)鯓觼?lái)度量空間，顯然歐氏空間已經(jīng)不再十分湊效，我們只能選擇黎曼流形。這就是光在宇宙中為什么沿著一條測(cè)地線前進(jìn)，而不是直線。