《近世代數(shù)》課程教學(xué)大綱

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1、《近世代數(shù)》課程教學(xué)大綱MODERNALGEBRA（2009年10修訂，潘慶年執(zhí)筆）一、課程的適用專業(yè)、學(xué)時(shí)及學(xué)分本課程的適用專業(yè)為：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)，68學(xué)時(shí)，4學(xué)分。二、課程的性質(zhì)、目的和任務(wù)近世代數(shù)是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)一門必修的專業(yè)基礎(chǔ)課，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)之一。通過本課的學(xué)習(xí)，能夠使學(xué)生掌握群、環(huán)、域的基礎(chǔ)知識，深刻理解和體會公化這一現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思想方法，同時(shí)掌握代數(shù)的一些基本方法：集合、運(yùn)算、運(yùn)算性質(zhì)，特殊元素，特殊子對象，商對象，同態(tài)同構(gòu)，為學(xué)生的進(jìn)一步學(xué)習(xí)提供理論基礎(chǔ)和方法保證，加深對中等數(shù)學(xué)中代數(shù)體系的理解。

2、三、與其它課程的聯(lián)系本課程的學(xué)習(xí)需要一定集合論和高等代數(shù)的基礎(chǔ)，對數(shù)論、組合論、離散數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)有一定的幫助。四、課程的基本內(nèi)容、重點(diǎn)及難點(diǎn)（一）基本概念1、集合及其運(yùn)算。2、映射，映射的合成，一一映射，可逆映射擊，一一映射與可逆映射的關(guān)系。3、代數(shù)運(yùn)算及其運(yùn)算律。4、同態(tài)，同構(gòu)，自同態(tài)，自同構(gòu)。5、等價(jià)關(guān)系，集合元素的分類，二者的關(guān)系。重點(diǎn)及難點(diǎn)：同態(tài)、同構(gòu)等價(jià)關(guān)系與集合元素的分類（二）群1、群的定義及其等價(jià)條件。2、群的同態(tài)及其性質(zhì)。3、變換群，Cayley定理。4、置換群，置換的循環(huán)表方法，交代群。1、循環(huán)群，整數(shù)加群Z和

3、模n剩余類加群Zn，結(jié)構(gòu)定理。2、子群及子群的陪集，Lagrange定理。3、不變子群，商群，同態(tài)基本定理。重點(diǎn)及難點(diǎn)：群的定義，循環(huán)群與置換群，不變子群與商群，同態(tài)基本定理。（三）環(huán)與域1、環(huán)的定義及簡單性質(zhì)，幾類常用的環(huán)的實(shí)例。2、交換律，單位元，可逆元，零因子，正則元，整環(huán)。3、除環(huán)和域，四元數(shù)除環(huán)，域中元的運(yùn)算。4、無零因子環(huán)的特征。5、子環(huán)，環(huán)的同態(tài)及同態(tài)映射的性質(zhì)。6、多項(xiàng)式環(huán)，同態(tài)及代入法，未定元的存在性。7、理想，剩余類（商）環(huán)，同態(tài)基本定理。8、極大理想，域的構(gòu)作。9、分式域的存在條件及其構(gòu)作方法重點(diǎn)與難點(diǎn)：

4、環(huán)（域）的概念，幾類常用環(huán)的性質(zhì)，理想與商環(huán)，同態(tài)及同態(tài)基本定理。（四）整環(huán)的因子分解理論1、整除，因子與平幾因子，相伴元，素元，唯一分解。2、唯一分解環(huán)及其等價(jià)條件，最大公因子，互素。3、主理想環(huán)，升鏈條件，極大理想與素元的關(guān)系。4、歐氏環(huán)、唯一分解環(huán)、主理想環(huán)及其之間的關(guān)系。5、多項(xiàng)式環(huán)的因子分解，根。重點(diǎn)與難點(diǎn)：素元，唯一分解問題。（五）擴(kuò)域1、擴(kuò)域，素域，最小擴(kuò)域F（S）的構(gòu)造及其性質(zhì)。2、代數(shù)元與超越元，單代數(shù)擴(kuò)域的同構(gòu)定理，單超越擴(kuò)域的同構(gòu)定理。3、代數(shù)擴(kuò)域，有限擴(kuò)域，二者的關(guān)系4、多項(xiàng)式的分裂域，存在及其唯一性。

5、5、有限域，有限域的階，多項(xiàng)式xq-x的分裂域。重點(diǎn)與難點(diǎn)：單擴(kuò)F（α）的同構(gòu)定理，代數(shù)擴(kuò)域，分裂域的存在及唯一，有限域的性質(zhì)。五、學(xué)時(shí)分配表章節(jié)主要內(nèi)容各教學(xué)環(huán)節(jié)學(xué)時(shí)分配表備注講授實(shí)驗(yàn)討論習(xí)題課外其它小計(jì)一基本概念8210二群論17320三環(huán)與域17320四整環(huán)里的因子分解10212五擴(kuò)域（選講）66合計(jì)581068六、教材與教學(xué)參考書[1]　張禾瑞.近世代數(shù)基礎(chǔ).北京:高教出版社,2000年（選用教材）.[2]　劉紹學(xué).近世代數(shù)基礎(chǔ).北京:高教出版社,2001年.[3]　吳品三.抽象代數(shù).北京:高教出版社,1984年.[4

6、]　楊子胥.近世代數(shù).北京:高教出版社,2001年.[5]　韓士安,林磊.近世代數(shù).北京:科學(xué)出版社,2008年.[6]　樊輝,劉宏偉.抽象代數(shù).北京:科學(xué)出版社,2008年.[7]　聶靈沼，丁石孫．代數(shù)學(xué)引論．北京：高等教育出版社，1988[8]　T.W.Hungerford.Algebra.?Berlin:Springer_verlag,1974.[9]　NathanJacobson．BasicAlgebra(I)．NewYork：W.H.?Freemanand??Company，1985[10]　Joseph.J.Rot

7、man.抽象代數(shù)基礎(chǔ)教程(英文版).第2版.北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2004年[11]　Joseph?A?Gallian．Contemporaryabstractalgebra．Boston:NewYorkHoughtonMifflinCompany，1998．