納維-斯托克斯方程

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1、納維－斯托克斯方程納維－斯托克斯方程（Navier-Stokesequations），以克勞德-路易·納維(Claude-LouisNavier)和喬治·加布里埃爾·斯托克斯命名，是一組描述像液體和空氣這樣的流體物質(zhì)的方程。這些方程建立了流體的粒子動量的改變率(加速度)和作用在液體內(nèi)部的壓力的變化和耗散粘滯力(類似于摩擦力)以及引力之間的關(guān)系。這些粘滯力產(chǎn)生于分子的相互作用，能告訴我們液體有多粘。這樣，納維-斯托克斯方程描述作用于液體任意給定區(qū)域的力的動態(tài)平衡。他們是最有用的一組方程之一，因?yàn)樗鼈兠枋隽舜罅繉W(xué)術(shù)和經(jīng)濟(jì)有用的現(xiàn)象的物理過程。它們可以用于模擬天氣，洋流，管道中的水流，星系中恒

2、星的運(yùn)動，翼型周圍的氣流。它們也可以用于飛行器和車輛的設(shè)計(jì)，血液循環(huán)的研究，電站的設(shè)計(jì)，污染效應(yīng)的分析，等等。納維-斯托克斯方程依賴微分方程來描述流體的運(yùn)動。這些方程，和代數(shù)方程不同，不尋求建立所研究的變量（譬如速度和壓力）的關(guān)系，而是建立這些量的變化率或通量之間的關(guān)系。用數(shù)學(xué)術(shù)語來講，這些變化率對應(yīng)于變量的導(dǎo)數(shù)。這樣，最簡單情況的0粘滯度的理想流體的納維-斯托克斯方程表明加速度（速度的導(dǎo)數(shù)，或者說變化率）是和內(nèi)部壓力的導(dǎo)數(shù)成正比的。這表示對于給定的物理問題的納維-斯托克斯方程的解必須用微積分的幫助才能取得。實(shí)用上，只有最簡單的情況才能用這種方法解答，而它們的確切答案是已知的。這些情況通常

3、涉及穩(wěn)定態(tài)（流場不隨時(shí)間變化）的非湍流，其中流體的粘滯系數(shù)很大或者其速度很?。ㄐ〉睦字Z數(shù)）。對于更復(fù)雜的情形，例如厄爾尼諾這樣的全球性氣象系統(tǒng)或機(jī)翼的升力，納維-斯托克斯方程的解必須借助計(jì)算機(jī)。這本身是一個(gè)科學(xué)領(lǐng)域，稱為計(jì)算流體力學(xué)。雖然湍流是日常經(jīng)驗(yàn)中就可以遇到的，但這類問題極難求解。一個(gè)$1,000,000的大獎由克雷數(shù)學(xué)學(xué)院于2000年5月設(shè)立，獎給對于能夠幫助理解這一現(xiàn)象的數(shù)學(xué)理論作出實(shí)質(zhì)性進(jìn)展的任何人。目錄·1基本假設(shè)o1.1隨體導(dǎo)數(shù)o1.2守恒定律§1.2.1連續(xù)性方程§1.2.2動量守恒·2方程組o2.1一般形式§2.1.1方程組的形式§2.1.2閉合問題·3特殊形式o3.1

4、牛頓流體o3.2賓漢（Bingham）流體o3.3冪律流體o3.4不可壓縮流體·4參看·5參考文獻(xiàn)·6外部鏈接基本假設(shè)在解釋納維-斯托克斯方程的細(xì)節(jié)之前，我們必須首先對流體的性質(zhì)作幾個(gè)假設(shè)。第一個(gè)假設(shè)是流體是連續(xù)的。這強(qiáng)調(diào)它不包含形成內(nèi)部的空隙，例如，溶解的氣體的氣泡，而且它不包含霧狀粒子的聚合。另一個(gè)必要的假設(shè)是所有涉及到的場，全部是可微的，例如壓強(qiáng)，速度，密度，溫度，等等。該方程從質(zhì)量，動量，和能量的守恒的基本原理導(dǎo)出。對此，有時(shí)必須考慮一個(gè)有限的任意體積，稱為控制體積，在其上這些原理很容易應(yīng)用。該有限體積記為，而其表面記為。該控制體積可以在空間中固定，也可能隨著流體運(yùn)動。這會導(dǎo)致一些

5、特殊的結(jié)果，我們將在下節(jié)看到。隨體導(dǎo)數(shù)運(yùn)動流體的屬性的變化，譬如大氣中的風(fēng)速的變化，可以有兩種不同的方法來測量?？梢杂脷庀笳净蛘邭庀髿馇蛏系娘L(fēng)速儀來測量。顯然，第一種情況下風(fēng)速儀測量的速度是所有運(yùn)動的粒子經(jīng)過一個(gè)固定點(diǎn)的速度，而第二種情況下，儀器在測量它隨著流體運(yùn)動時(shí)速度的變化。同樣的論證對于密度、溫度、等等的測量也是成立的。因此，當(dāng)作微分時(shí)必須區(qū)分兩種情況。第一種情況稱為空間導(dǎo)數(shù)或者歐拉導(dǎo)數(shù)。第二種情況稱為實(shí)質(zhì)或拉格朗日導(dǎo)數(shù)。例子請參看隨體導(dǎo)數(shù)條目。隨體導(dǎo)數(shù)定義為算子（operator）：其中是流體的速度。方程右邊的第一項(xiàng)是普通的歐拉導(dǎo)數(shù)（也就是在靜止參照系中的導(dǎo)數(shù)）而第二項(xiàng)表示由于流體

6、的運(yùn)動帶來的變化。這個(gè)效應(yīng)稱為移流（advection）。L的守恒定律在一個(gè)控制體積上的積分形式是：因?yàn)棣甘枪矂拥模S著時(shí)間而改變，所以我們不能將時(shí)間導(dǎo)數(shù)和積分簡單的交換。因?yàn)檫@個(gè)表達(dá)式對于所有成立，它可以簡化為：對于不是密度的量（因而它不必在空間中積分），給出了正確的共動時(shí)間導(dǎo)數(shù)。守恒定律主條目：守恒定律NS方程可以從守恒定律通過上述變換導(dǎo)出，并且需要用狀態(tài)定律來閉合。在控制體積上，使用上述變換，下列的量視為守恒：·質(zhì)量·能量·動量·角動量連續(xù)性方程質(zhì)量的守恒寫作：其中是流體的密度。在不可壓縮流體的情況不是時(shí)間或空間的函數(shù)。方程簡化為：動量守恒動量守恒寫作：注意是一個(gè)張量，代表張量積。

7、我們可以進(jìn)一步簡化，利用連續(xù)性方程，這成為：我們可以認(rèn)出這就是通常的F=ma。方程組一般形式方程組的形式納維-斯托克斯方程的一般形式是：關(guān)于動量守恒。張量代表施加在一個(gè)流體粒子上的表面力（應(yīng)力張量）。除非流體是由象旋渦這樣的旋轉(zhuǎn)自由度組成，是一個(gè)對稱張量。一般來講，我們有如下形式：其中是法向約束，而是切向約束。跡在流體處于平衡態(tài)時(shí)為0。這等價(jià)于流體粒子上的法向力的積分為0。我們再加上連續(xù)性方程：對于處于平衡的液體，的跡是