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1、第三章納維-斯托克斯方程組 的精確解在第二章里建立了粘性流體動力學的基本方程組，從本章開始將討論由此方程組描寫的粘性流體運動的物理屬性和特征以及方程組的解法。一般情況下尋求納維-斯托克斯方程組精確解的問題在數(shù)學上遇到了巨大的困難，這主要是由方程組的非線性引起的。由于這些困難，迄今只在一些特定的條件下求得了方程組的精確解。這些精確解從不同方面反映了粘性流體運動的性質(zhì)。由于對大多數(shù)實際關(guān)心的問題不能求得精確解，因而不得不引入不同程度的物理的或數(shù)學的近似以示得其近似解，其中邊界層近似則是很好的例子。隨著高速計算
2、機的發(fā)展，數(shù)值求解起著越來越大的作用。這些將在以后各章中討論。迄今得到的精確解幾乎都是對不可壓常值物性的流體做出的，這種流體的密度、粘性系數(shù)和熱傳導系數(shù)為常數(shù)。這時不需將能量方程與質(zhì)量和動量方程耦合，可在解得速度、壓力后單獨求解溫度（§2-4）在第七章將說明，在高雷諾數(shù)下流體運動將變得不穩(wěn)定，可能最終轉(zhuǎn)變?yōu)橥牧鳌Ｏ旅鎸⒁懻摰倪@些精確解盡管在高雷諾數(shù)下其數(shù)學解析關(guān)系仍是正確的，但這種解是不穩(wěn)定的，因而物理上是不存在的。所以這些精確解只對低雷諾數(shù)有效，即本質(zhì)上是層流解。在開始討論真正的精確解之前還應附帶指出
3、，不可壓位勢流的解也可看成是納維-斯托克斯方程組的精確解，因為這時位勢函數(shù)也使粘性項變?yōu)榱恪５俏粍萁庖话悴荒軡M足無滑移邊界條件，因為，若在固壁邊界處保證法向速度為零，則由位勢函數(shù)可決定其切向分速，因而一般情況下不能保證為零。所以，不能把位勢流看成是納維-斯托克斯方程的有物理意義的解。但也有例外情況，當固體邊界運動時，位勢函數(shù)可能構(gòu)成納維-斯托克斯方程的有實際意義的解（見§3-3）。本章討論的精確解包括兩大類。第一類是解析解，即未知函數(shù)完全由自變量解析地描述，且描述關(guān)系中不再包含導數(shù)或積分號。第二類是相似
4、解，它在二維（包括軸對稱）問題時可以化成一維問題，即可由常微分方程（組）的解表示。在所得出的這些常微分方程（組）中，有些至今未找到解析解，而只有數(shù)值解。由于這些常微分方程（組）具有通用性，其數(shù)值解也有通用性，故常列表給出。§3-1平行定常流動中的 速度分布1.二維泊肅葉流動2.庫埃特流動這是另一種平行直壁之間的流動，其中一個直壁靜止不動，另一直壁在自身所在平面內(nèi)沿流向移動（圖3.1.2）。這時方程(3.1.3)仍然成立，因而式（3.1.5）也成立，但邊界條件應改為這種特殊情況稱為簡單庫埃特流動，即流體完全
5、由運動壁面通過粘性力而拖動。一般的庫埃特流動是在這簡單流動上迭加一個由式（3.1.6）描寫的有壓力梯度的流動。壓力梯度的影響與如下的無量綱壓力梯度B有關(guān)圖（3.1.2）上表示出各種壓力梯度下的速度分布。對于B＞0，即壓力沿流動方向下降，稱為順壓力梯度，在整個槽道內(nèi)速度為正值。當B＜0，壓力沿流動方向增加，稱為逆壓力梯度。當B小于某個負值后，槽道內(nèi)靠近靜止壁面的某些區(qū)域內(nèi)的速度為負，即出現(xiàn)逆流。開始出現(xiàn)逆流的條件是3.哈根-泊肅葉流動這是直圓管中的平行流動。為保證是真正的平行流動，需要滿足兩個條件：第一，以
6、管道直徑為特征長度的雷諾數(shù)應低于某臨界值以保證流動為層流（第七章）；第二，管道足夠長，以形成充分發(fā)展了的管道流(§10-6)。§3-2平行定常流動中的 溫度分布前已指出(§2-4)，不可壓縮流體的流動是非耦合的，可以由質(zhì)量和動量方程解出速度和壓力場后再用能量方程求解溫度場。不可壓縮流體的能量方程常用式（2.3.18）表示。對于簡單的平行定常流動，能量方程也可進一步簡化，并利用前面得出的速度場和壓力場的解析解求得溫度場的解析解。1.二維泊肅葉流動應當指出，與耗能有關(guān)的溫度分布在中心線處最高，但這并不意味著中
7、心線處的耗散最高，恰恰相反，由速度分布式（3.1.6b）可見，中心線處耗散最低，而壁面附近耗散最高。由式（3.2.4）可見，溫度分布是由耗散分布與導熱特性決定的，即是說，一種給定的耗散分布要求一種相應的溫度分布才能將耗散生成的熱量傳導出去，以達到溫度的平衡狀態(tài)。容易看出，只當在壁面附近溫度梯度有較高的空間變化率時才能將當?shù)厣傻拇罅亢纳醾鲗С鋈ァ?.庫埃特流動§3-3同軸旋轉(zhuǎn)圓筒間的 定常流動§3-4平行非定常流動1.直壁突然加速§3-8可壓縮流體的庫埃特 流動本章以前各節(jié)所考慮的解都是針對密度及其他輸
8、運特性系數(shù)為常數(shù)的流體的。本節(jié)將以庫埃特流動為例考慮壓縮性及其他輸運特性變化的影響。由于密度不再是常數(shù)，必須把能量方程與質(zhì)量、動量方程耦合起來，一道求解。加之粘性系數(shù)μ和熱傳導系數(shù)k可能發(fā)生變化，使問題更加復雜。因而，對于可壓縮粘性流動至今只得到了很少數(shù)幾個準確解。且所有的準確解都僅適于簡化的情況，即只有一個速度分量隨一個坐標變化。有兩個典型的例子：（1）正激波，在激波厚度內(nèi)只有沿流向的梯度；（2）可壓縮的庫埃特流動，這是沿橫
