納維-斯托克斯存在性與光滑性

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1、納維-斯托克斯存在性與光滑性納維-斯托克斯存在性與光滑性是有關(guān)納維－斯托克斯方程其解的數(shù)學(xué)性質(zhì)有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，是美國(guó)克雷數(shù)學(xué)研究所在2000年提出的7個(gè)千禧年大獎(jiǎng)難題中的一個(gè)問(wèn)題。納維－斯托克斯方程是流體力學(xué)的重要方程，可以描述空間中流體（液體或氣體）的運(yùn)動(dòng)。納維－斯托克斯方程的解可以用到許多實(shí)務(wù)應(yīng)用的領(lǐng)域中。不過(guò)對(duì)于納維－斯托克斯方程解的理論研究仍然不足，尤其納維－斯托克斯方程的解常會(huì)包括紊流。雖然紊流在科學(xué)及工程中非常的重要，不過(guò)紊流仍是未解決的物理學(xué)問(wèn)題之一。許多納維－斯托克斯方程解的基本性質(zhì)都尚未被證明。例如數(shù)學(xué)家

2、就尚未證明在三維坐標(biāo)，特定的初始條件下，納維－斯托克斯方程是否有符合光滑性的解。也尚未證明若這様?shù)慕獯嬖跁r(shí)，其動(dòng)能有其上下界，這就是“納維-斯托克斯存在性與光滑性”問(wèn)題。由于了解納維－斯托克斯方程被視為是了解難以捉摸的紊流現(xiàn)象的第一步，克雷數(shù)學(xué)研究所在2000年5月提供了美金一百萬(wàn)的獎(jiǎng)金給第一個(gè)提供紊流現(xiàn)象相關(guān)資訊的人，而不是給第一個(gè)創(chuàng)建紊流理論的人?；谏鲜龅南敕?，克雷數(shù)學(xué)研究所設(shè)定了以下具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題：證明或反證以下的敘述：在三維的空間及時(shí)間下，給定一起始的速度場(chǎng)，存在一矢量的速度場(chǎng)及標(biāo)量的壓強(qiáng)場(chǎng)，為納維－斯托克斯方程

3、的解，其中速度場(chǎng)及壓強(qiáng)場(chǎng)需滿足光滑及全局定義的特性。目錄·1納維－斯托克斯方程·2二種條件：無(wú)邊界及周期性的空間·3在整個(gè)空間下問(wèn)題的說(shuō)明o3.1假設(shè)及無(wú)窮遠(yuǎn)處特性o3.2在整個(gè)空間中的千禧年大獎(jiǎng)難題描述·4周期性問(wèn)題的說(shuō)明o4.1假設(shè)o4.2周期性的千禧年大獎(jiǎng)難題描述·5部分結(jié)果·6腳注·7參考資料·8外部鏈接1納維－斯托克斯方程以數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)看，納維－斯托克斯方程是一個(gè)針對(duì)任意維度矢量場(chǎng)的非線性偏微分方程。在物理及工程的觀點(diǎn)看，納維－斯托克斯方程是一個(gè)用連續(xù)介質(zhì)力學(xué)描述液體或非稀疏氣體運(yùn)動(dòng)的方程組。此方程是以牛頓第二運(yùn)

4、動(dòng)定律為基礎(chǔ)，考慮一黏滯性牛頓流體的所有受力，包括壓強(qiáng)、黏滯力及外界的體積力。由于克雷數(shù)學(xué)研究所提出的問(wèn)題是以三維空間下，不可壓縮的勻質(zhì)流體為準(zhǔn)，以下也只考慮此條件下的納維－斯托克斯方程。令為描述流體速度的三維矢量場(chǎng)，且為流體壓強(qiáng)[note1]。納維－斯托克斯方程為：其中為動(dòng)黏滯度為外力為梯度運(yùn)算子為拉普拉斯算子，也可寫為上述方程是矢量方程，可以分解為三個(gè)標(biāo)量的方程，將速度及外力分解為三個(gè)坐標(biāo)下的分量：則納維－斯托克斯方程可寫成以下的形式，：其中的未知數(shù)有速度及壓強(qiáng)。由于只考慮三維空間，因此有三個(gè)方程及四個(gè)未知數(shù)，分別是速

5、度的三個(gè)分量及壓強(qiáng)，還需要一個(gè)方程才能解出所有的未知數(shù)。這個(gè)新增的方程是描述流體不可壓縮性的連續(xù)性方程：由于最后一個(gè)方程，納維－斯托克斯方程解的速度會(huì)是無(wú)散度的矢量函數(shù)。對(duì)于在均勻介質(zhì)中的無(wú)散度流，其密度及動(dòng)黏滯度為定值。2二種條件：無(wú)邊界及周期性的空間克雷數(shù)學(xué)研究所提出的納維-斯托克斯問(wèn)題，有二種不同的條件。原始問(wèn)題是在整個(gè)空間中，需要有關(guān)初始條件及解隨位置變化的額外資訊。為了不要考慮初始條件及解在無(wú)窮遠(yuǎn)處的特性，納維-斯托克斯方程也可以設(shè)定在一個(gè)周期性的空間中，因此不需考慮方程在整個(gè)空間，只需考慮方程在一個(gè)3維環(huán)面下的

6、特性。以下會(huì)分別處理這二種條件下的問(wèn)題。3在整個(gè)空間下問(wèn)題的說(shuō)明3.1假設(shè)及無(wú)窮遠(yuǎn)處特性初始條件假設(shè)是光滑及無(wú)散度的函數(shù)，使得對(duì)于每一個(gè)多重指標(biāo)及，存在一常數(shù)（此常數(shù)會(huì)依及K而變化）使得對(duì)于所有外力假設(shè)也是一個(gè)光滑函數(shù)，滿足一個(gè)非常類似的不等式（此時(shí)多重指標(biāo)也包括時(shí)間的導(dǎo)數(shù)）：forall考慮其實(shí)際的物理意義，此條件下的解需是光滑函數(shù)，當(dāng)時(shí)不會(huì)快速增加。更精準(zhǔn)地說(shuō)，有以下的假設(shè)：1.2.存在一常數(shù)使得對(duì)于所有的條件1表示此函數(shù)為光滑、全局定義的函數(shù)，條件2表示此解的動(dòng)能在全局中有上下界。3.2在整個(gè)空間中的千禧年大獎(jiǎng)難題描

7、述(A)在空間下納維-斯托克斯方程解的存在性及光滑性令。對(duì)于所有符合上述假設(shè)的初始條件，納維-斯托克斯方程存在一光滑及全局定義的解，就是存在一速度矢量及壓強(qiáng)滿足上述的條件1及2。(B)下納維-斯托克斯方程解存在性的反證存在一初始條件及外力使得納維-斯托克斯方程不存在一解滿足上述條件1及2。4周期性問(wèn)題的說(shuō)明4.1假設(shè)此處的函數(shù)需滿足對(duì)于位置變量的周期性，其周期為1。更精準(zhǔn)地說(shuō)，令為j方向的單位矢量：則對(duì)位置變量有周期性也就表示對(duì)于任何的，以下的式子均成立：因此方程不是在整個(gè)空間，而是在一商空間，也就是一個(gè)3維環(huán)面：有上述的

8、說(shuō)明后，可以說(shuō)明需要的假設(shè)。初始條件假設(shè)是一個(gè)光滑及無(wú)散度的函數(shù)，外力也是一個(gè)光滑函數(shù)。滿足以下的條件：3.4.存在一常數(shù)使得對(duì)于所有和之前的條件類似，條件3表示函數(shù)是光滑及全局定義，條件4表示此解的動(dòng)能在全局中有上下界。4.2周期性的千禧年大獎(jiǎng)難題描述(C)空間下納維-斯托克斯方程解的存在性及光滑性令