納維-斯托克斯存在性與光滑性

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1、納維-斯托克斯存在性與光滑性納維-斯托克斯存在性與光滑性是有關納維－斯托克斯方程其解的數(shù)學性質(zhì)有關的數(shù)學問題，是美國克雷數(shù)學研究所在2000年提出的7個千禧年大獎難題中的一個問題。納維－斯托克斯方程是流體力學的重要方程，可以描述空間中流體（液體或氣體）的運動。納維－斯托克斯方程的解可以用到許多實務應用的領域中。不過對于納維－斯托克斯方程解的理論研究仍然不足，尤其納維－斯托克斯方程的解常會包括紊流。雖然紊流在科學及工程中非常的重要，不過紊流仍是未解決的物理學問題之一。許多納維－斯托克斯方程解的基本性質(zhì)都尚未被證明。例如數(shù)學家

2、就尚未證明在三維坐標，特定的初始條件下，納維－斯托克斯方程是否有符合光滑性的解。也尚未證明若這様?shù)慕獯嬖跁r，其動能有其上下界，這就是“納維-斯托克斯存在性與光滑性”問題。由于了解納維－斯托克斯方程被視為是了解難以捉摸的紊流現(xiàn)象的第一步，克雷數(shù)學研究所在2000年5月提供了美金一百萬的獎金給第一個提供紊流現(xiàn)象相關資訊的人，而不是給第一個創(chuàng)建紊流理論的人?；谏鲜龅南敕?，克雷數(shù)學研究所設定了以下具體的數(shù)學問題：證明或反證以下的敘述：在三維的空間及時間下，給定一起始的速度場，存在一矢量的速度場及標量的壓強場，為納維－斯托克斯方程

3、的解，其中速度場及壓強場需滿足光滑及全局定義的特性。目錄·1納維－斯托克斯方程·2二種條件：無邊界及周期性的空間·3在整個空間下問題的說明o3.1假設及無窮遠處特性o3.2在整個空間中的千禧年大獎難題描述·4周期性問題的說明o4.1假設o4.2周期性的千禧年大獎難題描述·5部分結(jié)果·6腳注·7參考資料·8外部鏈接1納維－斯托克斯方程以數(shù)學的觀點來看，納維－斯托克斯方程是一個針對任意維度矢量場的非線性偏微分方程。在物理及工程的觀點看，納維－斯托克斯方程是一個用連續(xù)介質(zhì)力學描述液體或非稀疏氣體運動的方程組。此方程是以牛頓第二運

4、動定律為基礎，考慮一黏滯性牛頓流體的所有受力，包括壓強、黏滯力及外界的體積力。由于克雷數(shù)學研究所提出的問題是以三維空間下，不可壓縮的勻質(zhì)流體為準，以下也只考慮此條件下的納維－斯托克斯方程。令為描述流體速度的三維矢量場，且為流體壓強[note1]。納維－斯托克斯方程為：其中為動黏滯度為外力為梯度運算子為拉普拉斯算子，也可寫為上述方程是矢量方程，可以分解為三個標量的方程，將速度及外力分解為三個坐標下的分量：則納維－斯托克斯方程可寫成以下的形式，：其中的未知數(shù)有速度及壓強。由于只考慮三維空間，因此有三個方程及四個未知數(shù)，分別是速

5、度的三個分量及壓強，還需要一個方程才能解出所有的未知數(shù)。這個新增的方程是描述流體不可壓縮性的連續(xù)性方程：由于最后一個方程，納維－斯托克斯方程解的速度會是無散度的矢量函數(shù)。對于在均勻介質(zhì)中的無散度流，其密度及動黏滯度為定值。2二種條件：無邊界及周期性的空間克雷數(shù)學研究所提出的納維-斯托克斯問題，有二種不同的條件。原始問題是在整個空間中，需要有關初始條件及解隨位置變化的額外資訊。為了不要考慮初始條件及解在無窮遠處的特性，納維-斯托克斯方程也可以設定在一個周期性的空間中，因此不需考慮方程在整個空間，只需考慮方程在一個3維環(huán)面下的

6、特性。以下會分別處理這二種條件下的問題。3在整個空間下問題的說明3.1假設及無窮遠處特性初始條件假設是光滑及無散度的函數(shù)，使得對于每一個多重指標及，存在一常數(shù)（此常數(shù)會依及K而變化）使得對于所有外力假設也是一個光滑函數(shù)，滿足一個非常類似的不等式（此時多重指標也包括時間的導數(shù)）：forall考慮其實際的物理意義，此條件下的解需是光滑函數(shù)，當時不會快速增加。更精準地說，有以下的假設：1.2.存在一常數(shù)使得對于所有的條件1表示此函數(shù)為光滑、全局定義的函數(shù)，條件2表示此解的動能在全局中有上下界。3.2在整個空間中的千禧年大獎難題描

7、述(A)在空間下納維-斯托克斯方程解的存在性及光滑性令。對于所有符合上述假設的初始條件，納維-斯托克斯方程存在一光滑及全局定義的解，就是存在一速度矢量及壓強滿足上述的條件1及2。(B)下納維-斯托克斯方程解存在性的反證存在一初始條件及外力使得納維-斯托克斯方程不存在一解滿足上述條件1及2。4周期性問題的說明4.1假設此處的函數(shù)需滿足對于位置變量的周期性，其周期為1。更精準地說，令為j方向的單位矢量：則對位置變量有周期性也就表示對于任何的，以下的式子均成立：因此方程不是在整個空間，而是在一商空間，也就是一個3維環(huán)面：有上述的

8、說明后，可以說明需要的假設。初始條件假設是一個光滑及無散度的函數(shù)，外力也是一個光滑函數(shù)。滿足以下的條件：3.4.存在一常數(shù)使得對于所有和之前的條件類似，條件3表示函數(shù)是光滑及全局定義，條件4表示此解的動能在全局中有上下界。4.2周期性的千禧年大獎難題描述(C)空間下納維-斯托克斯方程解的存在性及光滑性令