振型分解反應(yīng)譜法

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1、附錄一振型分解反應(yīng)譜法?圖（1）振型分解反應(yīng)譜法作為彈性多自由體系的主要分析方法，很有必要對振型分解反應(yīng)譜法有充分的了解。本文僅作為大家參考之用，如有理解上的錯誤或者不當(dāng)，敬請諒解。1、單自由度體系在地震作用下的運(yùn)動如圖（1）所示，根據(jù)達(dá)朗貝爾原理有：（1）也即：（2）方程兩邊同時除以，可化為：（3）式中，，令，為體系阻尼比。2、多自由度體系在地震作用下的運(yùn)動類似于單自由度體系分析過程，體系運(yùn)動方程為：（4）無阻尼體系自由振動時，，，上式即為：（5）根據(jù)方程解的特征，設(shè)其解的形式為：（6）代入（5）式有：（7）由于則（8）另外，，故特征方程為：（

2、9）由（9）式可以求出，進(jìn)而可以求得各階振型對應(yīng)的圓頻率，再代入（8）式可求對應(yīng)于各個的特征向量，即為振型。振型：多自由度體系自由振動時，各質(zhì)點(diǎn)在任意時刻位移比值是一定的，不隨時間-15-變化，即體系自由振動過程中形狀保持不變。振型是結(jié)構(gòu)形狀保持不變的振動形式，振型的形狀是唯一的。個自由度的體系具有個振型。則結(jié)構(gòu)的變形總可以表示成這個振型的線性組合：（10）其中稱為正則坐標(biāo)。3、振型的正交性由于（11）則（12）（12）式兩邊同時左乘，，得到：（13）同理，，該式兩邊同時轉(zhuǎn)置一次，得到：（14）（13），（14）兩式左右對應(yīng)相減，得到：（15）因

3、為所以（16）同理亦有（17）即所說的振型關(guān)于質(zhì)量和剛度矩陣滿足正交性質(zhì)。對于阻尼：根據(jù)瑞雷阻尼的基本假定，若用矩陣形式表達(dá)，即：（18）由于該式是線性表達(dá)式，根據(jù)前面推導(dǎo)的振型正交性質(zhì)，可以得出：（19）但要注意的是，體系振型關(guān)于質(zhì)量和剛度矩陣滿足正交性質(zhì)是無條件的，而振型關(guān)于阻尼矩陣滿足正交性質(zhì)卻是有一定條件的，阻尼不滿足正交的情況下就不能在理論上嚴(yán)格的對結(jié)構(gòu)進(jìn)行振型分解來求解。3.1振型正交性質(zhì)的物理意義①振型關(guān)于質(zhì)量矩陣的正交性：第階振型的慣性力在經(jīng)歷第階振型時所做的功為0；②振型關(guān)于剛度矩陣的正交性：與第階振型位移有關(guān)的彈性力在經(jīng)歷第階

4、振型時所做的功為0；③總體來說就是各個振型按照自己的規(guī)律振動，而相互之間沒有干擾，從而為把方程求解分解成按各個振型分別求解提供了可能。-15-4、具有經(jīng)典阻尼的多自由度體系在激勵下的反應(yīng)這種荷載形式是一個固定的分布向量乘以常數(shù)，具有振型類似的特征，但是實(shí)際結(jié)構(gòu)是很少會受到這種形式的荷載作用，但它對于后面要進(jìn)行的地震作用下的響應(yīng)分析是有重要作用的。4.1運(yùn)動方程求解（后面與等參數(shù)都是表示向量）圖（2）如圖（2）所示，得到體系的平衡方程：（20）由公式（10），把代人，則：（21）方程前乘，根據(jù)振型的正交性質(zhì)，上式可化為：（22）其中稱為廣義質(zhì)量稱為

5、廣義阻尼稱為廣義剛度上式兩邊同時除以，由，并另得到：（23）令，稱為振型參與系數(shù)。則（23）式化為：（24）圖（3）是一個與振型正則化方式(即的取值)及荷載分布向量有關(guān)的一個量，它反映了外部激勵對振型的影響程度。比如具有的形式，根據(jù)正交性，說明這種荷載只會引起第個振型的反應(yīng)，而不會引起其他振型的反應(yīng)。令：，則（24）式可變?yōu)椋?15-（25）該方程是如圖（3）的一個標(biāo)準(zhǔn)的單自由度體系的運(yùn)動微分方程，求解微分方程得到。4.2求激勵下的效應(yīng)對應(yīng)于此刻第階振型的位移，則如圖（4）所示，對應(yīng)于此時變形的彈性恢復(fù)力為：（26）圖（4）令，稱之為振型貢獻(xiàn)，且

6、，則（26)式可寫為：（27）是一個階列向量，是個常量，與結(jié)構(gòu)特性及荷載作用方式都有關(guān)，而與振型的正則化方式無關(guān)。那么為一個靜力部分與動力部分的組合，作用在自由度上的由與的乘積決定，則在作用下的效應(yīng)也可以表示為由作用下的效應(yīng)經(jīng)動力放大后的總效應(yīng)，而這個彈性恢復(fù)力是用來計(jì)算結(jié)構(gòu)各種反應(yīng)效應(yīng)的直接量。圖（5）如圖（5）所示，為在作用下對應(yīng)于結(jié)構(gòu)需要求的作用效應(yīng)值，可以是彎矩、剪力，位移等，則經(jīng)動力放大后得到該效應(yīng)的動力反應(yīng)時程，可表示為：（28）那么總的效應(yīng)可以表示為：（29）總靜力效應(yīng)：（30）令：（31）稱為振型貢獻(xiàn)系數(shù)，則第階振型的效應(yīng)可表示為

7、。4.2.1對性質(zhì)的討論①是個無量綱的物理量，對于不同的反應(yīng)量取值是不同；-15-②與正則化方式無關(guān)，，，上下有兩個，的影響被約去；③；④有正有負(fù)，所以只計(jì)算前幾個振型并不一定都是小于總效應(yīng)的，也可能偏大的估計(jì)了荷載的作用效應(yīng)。4.2.2振型貢獻(xiàn)系數(shù)與振型參與系數(shù)的區(qū)別是一個與振型正則化方式無關(guān)而與結(jié)構(gòu)特性和激勵分布特性有關(guān)的量，是衡量各振型對反應(yīng)量最直觀的參數(shù)，雖然它不包括動力部分，不能精確反映振型對反應(yīng)的貢獻(xiàn)，但已經(jīng)能夠表現(xiàn)各振型反應(yīng)的相對大小。4.2.3位移也是作用下的一種效應(yīng)（32）這與之前的的表達(dá)式是相同的，說明效應(yīng)的表達(dá)式具有廣泛的適

8、用性。5、具有經(jīng)典阻尼的多自由度體系在地震激勵下的反應(yīng)圖（6）如圖（6）所示，以地面為參考系，則各質(zhì)點(diǎn)受到的慣性力為，它的分布與質(zhì)量有關(guān)