平面彎曲梁的彎矩圖的數(shù)值畫法研究

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1、平面彎曲梁的彎矩圖的數(shù)值畫法研究：平面彎曲梁的內(nèi)力圖包括剪力圖和彎矩圖。繪制內(nèi)力圖的主要方法包括理論法和數(shù)值法。數(shù)值法繪制內(nèi)力圖時，尤其對于分布載荷作用的梁，所繪圖形的精確與否取決于單元的劃分。文章正是對受到分布載荷的梁，研究應用有限元的數(shù)值法繪制內(nèi)力圖的方法?！　￡P鍵詞：均布載荷；懸臂梁；彎矩圖；數(shù)值法　　梁發(fā)生平面彎曲時，橫截面上有剪力和彎矩兩種內(nèi)力分量。一般情況下，剪力和彎矩沿著橫截面總是變化的。剪力圖和彎矩圖能形象直觀地描述這種變化。對于細長梁，兩個內(nèi)力中，主要由彎矩來決定梁的安全性。針對細長梁，

2、應用理論法和數(shù)值法作彎矩圖，并由理論法的結(jié)果來指導數(shù)值繪制?！　±L制平面彎曲梁彎矩圖的理論方法主要包括：內(nèi)力方程法和微分關系法。所謂內(nèi)力方程法，就是用數(shù)學函數(shù)描述出彎矩隨截面位置的變化規(guī)律，即醞越醞（曾）；然后在以曾為橫坐標，醞為縱坐標的坐標系中描繪出函數(shù)所對應的圖形，此圖即為彎矩圖。微分關系法就是：應用彎矩醞（曾）和載荷集度擇（曾）之間的微分關系d2M(x)dx2越擇（曾）總結(jié)出一些內(nèi)力和外力之間滿足的規(guī)律，根據(jù)這些規(guī)律，再結(jié)合數(shù)學中的圖形特征直接繪制出彎矩圖的一種方法。　　有限元作為一種數(shù)值分析方法，

3、它的功能非常強大，繪制內(nèi)力圖就是它許多功能中的一種。在用數(shù)值法繪制彎矩圖時，如果研究方法不當，此時數(shù)值法所繪圖形與理論法所繪圖形差別可能非常大。文章對受均布載荷作用下的懸臂梁，應用數(shù)值法繪制彎矩圖，并研究通過X格劃分的不斷改進來提高彎矩圖的精度的方法。易起.17.　　1理論法繪制內(nèi)力圖　　如圖1，長度為1皂的細長懸臂梁，左端固定，整個梁上作用有向下集度為擇越200暈轅皂的均布載荷。梁材料的彈性模量為200鄖孕葬，泊松比為0.3，截面高度為5糟皂，寬度為2糟皂?！　冶哿旱膹澗胤匠虨獒j（曾）越原2擇（1原曾

4、）2（0約曾臆1）　　用內(nèi)力方程法繪制出梁的彎矩圖（見圖2）。由內(nèi)力圖可知，在均布載荷作用下，懸臂梁的彎矩圖為一條二次曲線?！　?數(shù)值法繪制內(nèi)力圖　　應用平面梁單元月耘粵醞3進行數(shù)值計算，并且通過劃分不同個數(shù)的單元進行比較?！　。?）劃分成1個單元。因為整個梁上只有均布載荷，可以劃分為兩個節(jié)點和1個單元進行有限元計算。圖3為1個單元時所繪的彎矩圖。由圖3可以看出，彎矩圖為一條直線，與理論結(jié)果相差很6，究其原因，因為在數(shù)值作圖過程中使用的是直線連線方法，又因節(jié)點個數(shù)太少，只有兩個，從而導致圖形只能反映兩個節(jié)

5、點之間的數(shù)值變化。下面通過增加節(jié)點個數(shù)，以期改善彎矩圖的數(shù)值結(jié)果。　?。?）劃分成10個單元。將節(jié)點及單元個數(shù)增加重新進行計算。圖4為10單元模型的彎矩圖。從圖4可以看出，隨著單元個數(shù)的增加，數(shù)值法所繪彎矩圖與理論法更加接近。分析原因，因為節(jié)點個數(shù)的增加，在數(shù)值繪圖時所得的彎矩圖就能更加準確地反映所有這些節(jié)點之間的數(shù)值的變化，也就是彎矩值隨截面位置的變化，從而整個圖形的趨勢就與理論圖比較接近了。　　3結(jié)論　　由以上的分析研究可以得出以下的幾點結(jié)論：淤利用1個單元和10個單元計算得出梁兩端支座處的彎矩值（原

6、100暈.皂2，0）與理論計算值完全吻合；于彎矩圖為曲線段。此時，節(jié)點和單元個數(shù)對圖形形狀影響明顯。當節(jié)點個數(shù)和單元個數(shù)較少時，數(shù)值圖見圖3與圖2相差很6，而當節(jié)點和單元個數(shù)較多時，數(shù)值圖見圖4與圖2的變化趨勢比較一致。.17.　　可見，數(shù)值法所繪彎矩圖的精確度受到X格劃分過程中單元的數(shù)量的影響。在用直線連接繪制圖形時，需要比較多的節(jié)點和單元才可以得出比較準確的彎矩圖。一般情況下，節(jié)點個數(shù)越多，單元個數(shù)越多，所繪彎矩圖會越接近理論解。當然，如果考慮計算速度及效率，在增加節(jié)點個數(shù)的同時，也要結(jié)合實際載荷情況

7、，選擇最少而最有效的節(jié)點。總之，可以有以下兩個原則：淤當梁上載荷較簡單時，比如集中力或集中力偶作用的情況。選擇節(jié)點時，只需要在載荷作用處建立節(jié)點劃分單元即可。因為此時彎矩圖為直線段組成，在載荷作用點之間增加節(jié)點會降低計算速度，但并不能起到改變圖形趨勢的作用；于當梁上載荷較為復雜時，比如分布載荷作用的情況。在分布載荷作用區(qū)域，適當采用比較多的節(jié)點能達到使圖形更準確，趨勢更接近理論圖的效果。