帶通采樣定理

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1、3.1.3帶通抽樣定理實(shí)際中遇到的許多信號(hào)是帶通型信號(hào)，這種信號(hào)的帶寬往往遠(yuǎn)小于信號(hào)中心頻率。若帶通信號(hào)的上截止頻率為，下截止頻率為，這時(shí)并不需要抽樣頻率高于兩倍上截止頻率，可按照帶通抽樣定理確定抽樣頻率。[定理3-2]帶通抽樣定理：一個(gè)頻帶限制在內(nèi)的時(shí)間連續(xù)信號(hào)，信號(hào)帶寬，令，這里為不大于的最大正整數(shù)。如果抽樣頻率滿足條件，（3.1-9）則可以由抽樣序列無失真的重建原始信號(hào)。對(duì)信號(hào)以頻率抽樣后，得到的采樣信號(hào)的頻譜是的頻譜經(jīng)過周期延拓而成，延拓周期為，如圖3-3所示。為了能夠由抽樣序列無失真的重建原始信號(hào)，必須選擇合適的延拓周期（也就是選擇采樣頻率），使得位于和的頻帶分量不會(huì)和延拓分量出現(xiàn)

2、混疊，這樣使用帶通濾波器就可以由采樣序列重建原始信號(hào)。由于正負(fù)頻率分量的對(duì)稱性，我們僅考慮的頻帶分量不會(huì)出現(xiàn)混疊的條件。在抽樣信號(hào)的頻譜中，在頻帶的兩邊，有著兩個(gè)延拓頻譜分量：和。為了避免混疊，延拓后的頻帶分量應(yīng)滿足（3.1-10）（3.1-11）綜合式（3.1-10）和式（3.1-11）并整理得到（3.1-12）這里是大于等于零的一個(gè)正數(shù)。如果取零，則上述條件化為（3.1-13）這時(shí)實(shí)際上是把帶通信號(hào)看作低通信號(hào)進(jìn)行采樣。取得越大，則符合式（3.1-12）的采樣頻率會(huì)越低。但是有一個(gè)上限，因?yàn)椋鵀榱吮苊饣殳B，延拓周期要大于兩倍的信號(hào)帶寬，即。因此（3.1-14）由于為不大于的最大正整數(shù)，

3、因此不大于的最大正整數(shù)為，故有綜上所述，要無失真的恢復(fù)原始信號(hào)，采樣頻率應(yīng)滿足，（3.1-15）圖3-3帶通采樣信號(hào)的頻譜帶通抽樣定理在頻分多路信號(hào)的編碼、數(shù)字接收機(jī)的中頻采樣數(shù)字化中有重要的應(yīng)用。作為一個(gè)特例，我們考慮（）的情況，即上截止頻率為帶寬的整數(shù)倍。若按低通抽樣定理，則要求抽樣頻率，抽樣后信號(hào)各段頻譜間不重疊，采用低通濾波器或帶通濾波器均能無失真的恢復(fù)原始信號(hào)。根據(jù)帶通抽樣，若將抽樣頻率取為（值取為），抽樣后信號(hào)各段頻譜之間仍不會(huì)發(fā)生混疊。采用帶通濾波器仍可無失真地恢復(fù)原始信號(hào)，但此時(shí)抽樣頻率遠(yuǎn)低于低通抽樣定理的要求。圖3-4所示為，時(shí)抽樣信號(hào)的頻譜。圖3-4，時(shí)的抽樣頻譜在帶通抽

4、樣定理中，由于，帶通抽樣信號(hào)的抽樣頻率在到之間變化，如圖3-5所示。圖3-5帶通抽樣定理由以上討論可知，低通信號(hào)的抽樣和恢復(fù)比起帶通信號(hào)來要簡(jiǎn)單。通常，當(dāng)帶通信號(hào)的帶寬大于信號(hào)的最低頻率時(shí)，在抽樣時(shí)把信號(hào)當(dāng)作低通信號(hào)處理，使用低通抽樣定理，而在不滿足上述條件時(shí)則使用帶通抽樣定理。模擬電話信號(hào)經(jīng)限帶后的頻率范圍為300Hz～3400Hz，在抽樣時(shí)按低通抽樣定理，抽樣頻率至少為6800Hz。由于在實(shí)際實(shí)現(xiàn)時(shí)濾波器均有一定寬度的過渡帶，抽樣前的限帶濾波器不能對(duì)3400Hz以上頻率分量完全予以抑制，在恢復(fù)信號(hào)時(shí)也不可能使用理想的低通濾波器，所以對(duì)語音信號(hào)的抽樣頻率取為8kHz。這樣，在抽樣信號(hào)的頻譜

5、之間便可形成一定間隔的保護(hù)帶，既防止頻譜的混疊，又放松了對(duì)低通濾波器的要求。這種以適當(dāng)高于奈奎斯特頻率進(jìn)行抽樣的方法在實(shí)際應(yīng)用中是很常見的。