帶通采樣定理證明

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1、帶通信號(hào)的采樣與重建一、帶通采樣定理的理論基礎(chǔ)基帶采樣定理只討論了其頻譜分布在（0，）的基帶信號(hào)的采樣問題。作為接收機(jī)的模數(shù)轉(zhuǎn)換來說：接收信號(hào)大多為已調(diào)制的射頻信號(hào)。射頻信號(hào)相應(yīng)的頻率上限遠(yuǎn)高于基帶信號(hào)的頻率上限。這時(shí)如果想采用基帶采樣就需要非常高的采樣速率！這是現(xiàn)實(shí)中的A/D難以實(shí)現(xiàn)的。這時(shí)，低通采樣定理已經(jīng)不能滿足實(shí)際中的使用要求。帶通采樣定理是適用于這樣的帶通信號(hào)的采樣理論基礎(chǔ)，下面給出定理。帶通采樣定理：設(shè)一個(gè)頻率帶限信號(hào)其頻帶限制在內(nèi)，如果其采樣速率滿足式：=（2-1）式中,取能滿足的最大整數(shù)（0，

2、1，2…），則用進(jìn)行等間隔采樣所得到的信號(hào)采樣值能準(zhǔn)確的確定原信號(hào)。帶通采樣定理使用的前提條件是：只允許在其中一個(gè)頻帶上存在信號(hào)，而不允許在不同的頻帶同時(shí)存在信號(hào)，否則將會(huì)引起信號(hào)混疊[1]。如圖2.3所示，為滿足這一條件的一種方案，采用跟蹤濾波器的辦法來解決，即在采樣前先進(jìn)行濾波[1]，也就是當(dāng)需要對(duì)位于某一個(gè)中心頻率的帶通信號(hào)進(jìn)行采樣時(shí)，就先把跟蹤濾波器調(diào)到與之對(duì)應(yīng)的中心頻率上，濾出所感興趣的帶通信號(hào)，然后再進(jìn)行采樣，以防止信號(hào)混疊。這樣的跟蹤濾波器稱之為抗混疊濾波器。圖2.3帶通信號(hào)采樣式（2-1）用帶

3、通信號(hào)的中心頻率和頻帶寬度B也可用式（2-2）表示：（2-2）式中，，取能滿足（B為頻帶寬度）的最大正整數(shù)。當(dāng)頻帶寬帶B一定時(shí)，為了能用最低采樣速率即兩倍頻帶寬度的采樣速率（）,帶通信號(hào)的中心頻率必須滿足。也即信號(hào)的最高或最低頻率是信號(hào)的整數(shù)倍。帶通采樣理論的應(yīng)用大大降低了所需的射頻采樣頻率，為后面的實(shí)時(shí)處理奠定了基礎(chǔ)。但是從軟件無線電的要求來看，帶通采樣的帶寬應(yīng)是越寬越好，這樣對(duì)不同基帶帶寬的信號(hào)會(huì)有更好的適應(yīng)性，在相同的工作頻率范圍內(nèi)所需要的“盲區(qū)”采樣頻率數(shù)量減少，有利于簡(jiǎn)化系統(tǒng)設(shè)計(jì)。另外，當(dāng)對(duì)于一個(gè)頻

4、率很高的射頻信號(hào)采樣時(shí)，如果采樣頻率設(shè)的太低，對(duì)提高采樣量化的信噪比是不利的。所以在可能的情況下，帶通采樣頻率應(yīng)該盡可能選的高一些，使瞬時(shí)采樣帶寬盡可能寬。但是隨著采樣速率的提高帶來的一個(gè)問題是采樣后的數(shù)據(jù)流速率很高。因此一個(gè)實(shí)際的無線電通信帶寬一般為幾千赫茲到幾百赫茲。實(shí)際對(duì)單信號(hào)采樣時(shí)采樣率是不高的。所以對(duì)這種窄帶信號(hào)的采樣數(shù)據(jù)流降速是完全可能的。多速率信號(hào)處理技術(shù)為這種降速處理實(shí)現(xiàn)提供了理論依據(jù)。二、帶通采樣過程待采樣信號(hào)為中頻是100MHz，帶寬為2MHz的帶通信號(hào)：fc0=100e6;//中頻頻率f

5、c1=99e6;//信號(hào)一的頻率fc2=101e6;//信號(hào)二的頻率fs1=3e6;//欠采樣的采樣頻率fs2=4e6;//臨界采樣采樣頻率fs3=6e6;//大于2倍帶寬的采樣速率f0=250e6//用以模擬連續(xù)信號(hào)的離散信號(hào)采樣速率（遠(yuǎn)大于nyquist率）t=0:1/f0:1e-6;xt0=2*cos(2*pi*fc1*t)+4*cos(2*pi*fc2*t);待采樣信號(hào)的波形和頻譜如圖所示：圖1原信號(hào)波形及頻譜按照如上的三種采樣頻率對(duì)待采樣信號(hào)進(jìn)行采樣，得到的三個(gè)信號(hào)及其幅度譜如圖所示：1）欠采樣條件

6、下得到的采樣信號(hào)：圖2欠采樣信號(hào)的波形及幅度譜2)臨界采樣：圖3臨界采樣信號(hào)的波形及幅度譜3）滿足采樣條件的采樣信號(hào)圖4正常采樣信號(hào)的波形及幅度譜三、信號(hào)重建1）設(shè)計(jì)通帶為99～101MHz的4階巴特沃茲一型IIR濾波器來作為信號(hào)恢復(fù)的模擬濾波器，濾波器的設(shè)計(jì)過程及幅頻響應(yīng)特性如圖所示：fs=250e6;N=4;figure(6);Wn=[0.7920.808];[b,a]=butter(N,Wn,'bandpass');[h,w]=freqz(b,a);plot(w/pi*fs/2,abs(h));grid

7、;title('AmplitudeResponse');xlabel('Frequency(Hz)');ylabel('Amplitude');圖1濾波器的幅度響應(yīng)2）將三種采樣信號(hào)的到的數(shù)據(jù)流通過信號(hào)恢復(fù)濾波器，即上述的巴特沃茲一型濾波器，得到的結(jié)果如下：圖2欠采樣恢復(fù)圖3臨界采樣恢復(fù)圖3正常采樣恢復(fù)四、結(jié)果分析從結(jié)果可見：欠采樣信號(hào)進(jìn)行恢復(fù)時(shí)，從信號(hào)完整角度進(jìn)行觀察便可以發(fā)現(xiàn)信號(hào)的不同，缺少了原信號(hào)的部分信息。而臨界采樣信號(hào)的恢復(fù)，在信號(hào)周期上有一定的變化，比原信號(hào)的信息有所丟失。正常采樣下的信號(hào)可以恢復(fù)

8、出原信號(hào)一個(gè)完整周期的頻譜。但由于所選取信號(hào)長(zhǎng)度的問題，沒能恢復(fù)全部信號(hào)，但這已經(jīng)能夠證明帶通采樣定理的正確性，即采樣后的信號(hào)沒有丟失原信號(hào)的信息。附:%′?í¨2é?ù?¨àíμ??é?¤%%′?í¨?DD??μ?ê?afc=100MHz,D?o??μ?ê?af1=99MHzoíf2=101MHz%%2é?ù?ù?ê·?±e?a3MHz?￠4MHz?￠6MHz%%%%%B=2MHz,àí??é?μ