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《拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在學(xué)術(shù)論文-天天文庫(kù)。
1、拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì) 在直線與拋物線的關(guān)系中，過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線的關(guān)系尤為重要，它有一些重要且實(shí)用的性質(zhì)．這些性質(zhì)通常是解決相關(guān)問(wèn)題的切人點(diǎn)，起著舉足輕重的工具性作用，有必要認(rèn)真領(lǐng)會(huì)、系統(tǒng)掌握．但教材中對(duì)其相關(guān)性質(zhì)并沒(méi)有明確而規(guī)范的逐一落列，只能靠教學(xué)者自身提煉、總結(jié)和歸納．現(xiàn)將其有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行探討和研究 設(shè)拋物線的方程為y2=2px(P＞0),過(guò)焦點(diǎn)F(p2,0)作傾斜角為q的直線，交拋物線于A、B兩點(diǎn)，則線段AB稱(chēng)拋物線的焦點(diǎn)弦，拋物線的焦點(diǎn)弦具有以下性質(zhì)： 性質(zhì)1：已知過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，則（由焦半徑公式
2、推導(dǎo)） 性質(zhì)2：A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積，縱坐標(biāo)之積為定值。即x1x2=，y1y2=-p2 證明：當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，設(shè)AB的方程為：y=k(x－),代入拋物線得4k2x2－4p(k2+2)x+k2p2=0,設(shè)A（x1,y1）、B（x2,y2）,由韋達(dá)定理得x1x2=為定值；而
3、y1y2
4、===2p?=p2.∴y1y2=-p2?！ ‘?dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，易證上式結(jié)論成立?！ ⌒再|(zhì)3：設(shè)拋物線y2=2px(p＞0),焦點(diǎn)為F，焦點(diǎn)弦PQ，則1
5、FP
6、+1
7、FQ
8、=2p(定值). 證法：由P、Q向準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為M、N，作QA
9、⊥Ox于A，F(xiàn)B4⊥PM于B，準(zhǔn)線與Ox交于E， (如圖)由△AFQ∽△BPF，則
10、AF
11、
12、QF
13、＝
14、BP
15、
16、FP
17、,即
18、EF
19、-
20、NQ
21、
22、QF
23、=
24、PM
25、-
26、EF
27、
28、PF
29、, 但由定義知
30、NQ
31、=
32、FQ
33、,
34、PM
35、=
36、PF
37、, ∴
38、EF
39、-
40、FQ
41、
42、FQ
43、=
44、PF
45、-
46、EF
47、
48、FP
49、,有
50、EF
51、
52、FQ
53、?1=1?
54、EF
55、
56、FP
57、即
58、EF
59、
60、QF
61、+
62、EF
63、
64、PF
65、=2, 而
66、EF
67、=p,代入后即得1
68、FP
69、+1
70、FQ
71、=2p. 性質(zhì)4：已知拋物線y2=2px(p>0),過(guò)焦點(diǎn)F的弦的傾斜角為θ（θ≠0），且與拋物線交于A
72、、B，則
73、AB
74、=；且當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí)，
75、AB
76、min=2P（此時(shí)稱(chēng)弦AB為拋物線的通徑）。 證明：同性質(zhì)3，分別過(guò)點(diǎn)A、B向拋物線的準(zhǔn)線l作垂線，垂足記為A1、B1，則
77、AA1
78、=
79、AF
80、，
81、BB1
82、=
83、BF
84、，∴
85、AB
86、=
87、AA1
88、+
89、BB1
90、。 設(shè)A（x1,y1）,B(x2,y2),則
91、AA1
92、=x1+，
93、BB1
94、=x2+，∴
95、AB
96、=x1+x2+p?！ ‘?dāng)θ≠900時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=tgθ(x－c),代入拋物線方程得： tg2θ?x2－(2p+ptg2θ)x+=0, x1+x2=，∴
97、AB
98、=+p=?！ ‘?dāng)
99、θ=900時(shí)，顯然
100、AB
101、=2p,符合上式，∴
102、AB
103、=?！ ‘?dāng)θ=900時(shí)，
104、AB
105、min=2P，即為通徑的長(zhǎng)?！ ⌒再|(zhì)5：過(guò)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F作傾斜角為θ（θ≠0）的直線，且與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，則△AOB的面積S=。4 證明：由性質(zhì)4得
106、AB
107、=，點(diǎn)O到直線ABy=tgθ(x－)的距離為 d==?
108、sinθ
109、。 ∴S△AOB=???
110、sinθ
111、=?！ ⌒再|(zhì)6：以?huà)佄锞€的焦點(diǎn)弦為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切. 證法一：如圖3，設(shè)PQ中點(diǎn)為R，則R即為PQ為直線圓的圓心，過(guò)R作RS⊥MN于S，又設(shè)P(x1,y
112、1),Q(x2,y2), ∴RS為圓的半徑，命題得證. 證法二：由圖3知RS為梯形PQNM的中位線，∴
113、RS
114、=12(
115、PM
116、+
117、QN
118、)=12
119、PQ
120、(利用性質(zhì)3)， ∴RS為圓的半徑，故結(jié)論成立. 性質(zhì)7：以?huà)佄锞€y2=2px(p>0)的焦半徑
121、PF
122、為直徑的圓（⊙C）與y軸相切 證明：分別過(guò)點(diǎn)P、C、F向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足記為P1、C1、F1，與y軸交于P2、C2，O，則C到y(tǒng)軸的距離，而
123、PF
124、=
125、PP1
126、=
127、PP2
128、+
129、P2P1
130、=
131、PP2
132、+
133、FO
134、，∴，即點(diǎn)C到y(tǒng)軸的距離等于⊙C的半徑，∴⊙C與y軸
135、相切?！ ⌒再|(zhì)8：以?huà)佄锞€y2=2px(p＞0),焦點(diǎn)弦PQ端點(diǎn)向準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為M、N，則FM⊥FN.(其中F為焦點(diǎn)). 證明：如圖4，由拋物線定義知
136、PF
137、=
138、PM
139、，∴∠1=∠2，4 而PM∥Ox,∴∠2=∠3，∴∠1=∠3, 同理∠4=∠6，而∠1+∠3+∠4+∠6=180°，∴∠3+∠6=90°，∴FM⊥FN.4
