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《幾何空間向量的外積》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、1.7.幾何空間向量的外積外積的基本性質(zhì)（特別注意反交換律）外積的計(jì)算內(nèi)積與外積在立體幾何中的應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離二面角直線與平面的夾角點(diǎn)到平面的距離二重外積9/15/20211外積的定義向量的外積是向量間的另一種重要的運(yùn)算,有很多應(yīng)用,如力學(xué)中的力矩.9/15/20212外積的性質(zhì)證明:9/15/20213外積的性質(zhì)則證明:9/15/20214外積的運(yùn)算性質(zhì)定理7.3.證明:(EP1)由定義可得;(EP2)且由反交換律得另一等式9/15/20215外積的運(yùn)算性質(zhì)因于是由命題7.2可得,9/15/20216外積的
2、運(yùn)算性質(zhì)9/15/20217外積的運(yùn)算性質(zhì)因此最后,由反交換律可得右分配律.9/15/20218外積的計(jì)算則從而證明:由外積的性質(zhì)易得.9/15/20219外積的計(jì)算:說明1)外積計(jì)算公式也形式地記為因此,平行四邊形的面積為9/15/202110外積的計(jì)算：例題解:先求得于是9/15/202111外積的計(jì)算：例題已知空間3點(diǎn)A(1,1,0),B(1,2,1),C(0,1,2).求三角形ABC的面積;求AB邊上的高.解:三角形ABC的面積為以AB,AC為鄰邊的平行四邊形的面積的一半,所以=(2,1,1).AB邊上
3、的高：9/15/202112外積與內(nèi)積在立體幾何中的應(yīng)用立體幾何中的夾角與距離的問題可以轉(zhuǎn)化為向量的計(jì)算問題.建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系后,應(yīng)用外積與內(nèi)積有時(shí)可以簡化計(jì)算過程,或者使得思路變得簡單.這里將涉及點(diǎn)到直線的距離,二面角,直線與平面的夾角,點(diǎn)到平面的距離等.點(diǎn)到直線的距離.設(shè)P為空間一點(diǎn),l為一空間直線.在直線上任取兩點(diǎn)A,B,9/15/202113點(diǎn)到直線的距離：例題求點(diǎn)M到直線PQ距離.解:建立如圖的直角坐標(biāo)系,得于是9/15/202114二面角則這兩個(gè)平面所成的二面角等于或9/15/202115直線與
4、平面的夾角則直線與平面的夾角為9/15/202116點(diǎn)到平面的距離在平面上任取一點(diǎn)A,9/15/202117例題7.4求解:先給出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo):9/15/202118例題7.49/15/202119例題7.4平面BPQ的法向量為平面MPQ的法向量為可以看出該二面角為鈍角9/15/202120例題7.4=49/15/202121二重外積命題7.4.proof由反交換律得到可見,向量的外積不滿足結(jié)合律.例.證明雅可比恒等式:證：三式相加即得.9/15/202122命題7.4的證明命題7.4證:取一個(gè)右手系直角坐標(biāo)系
5、,有同理可得所以命題成立.back9/15/202123
