小波變換原理與應(yīng)用

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1、1小波變換原理及其應(yīng)用案例介紹WaveletTransformTheoryandApplicationsIntroduction數(shù)學(xué)中的顯微鏡——小波饒利強(qiáng)電機(jī)與電器2主要內(nèi)容1.小波的發(fā)展歷史2.小波變換與傅里葉變換的比較3.小波變換的基本原理與性質(zhì)4.幾種常用的小波簡(jiǎn)介5.小波變換的應(yīng)用領(lǐng)域6.小波分析應(yīng)用前景7.小波變換的去噪應(yīng)用8.小波分析面臨的主要問(wèn)題31.小波的發(fā)展歷史——工程到數(shù)學(xué)小波變換的概念是由法國(guó)從事石油信號(hào)處理的工程師J.Morlet在1974年首先提出的，通過(guò)物理的直觀和信號(hào)處理的實(shí)際需要經(jīng)驗(yàn)的建立了反演公

2、式，當(dāng)時(shí)未能得到數(shù)學(xué)家的認(rèn)可。幸運(yùn)的是，1986年著名數(shù)學(xué)家Y.Meyer偶然構(gòu)造出一個(gè)真正的小波基，并與S.Mallat合作建立了構(gòu)造小波基的同一方法棗多尺度分析之后，小波分析才開(kāi)始蓬勃發(fā)展起來(lái)。小波變換是近十幾年新發(fā)展起來(lái)的一種數(shù)學(xué)工具,是繼一百多年前的傅里葉(Fourier)分析之后的又一個(gè)重大突破,它對(duì)無(wú)論是古老的自然學(xué)科還是新興的高新應(yīng)用技術(shù)學(xué)科均產(chǎn)生了強(qiáng)烈的沖擊。41.小波的發(fā)展歷史——工程到數(shù)學(xué)1909:AlfredHaar——發(fā)現(xiàn)了Haar小波1980：Morlet——Morlet小波，并分別與20世紀(jì)70年代提出

3、了小波變換的概念，20世紀(jì)80年代開(kāi)發(fā)出了連續(xù)小波變換CWT（continuouswavelettransform）1986：Y.Meyer——提出了第一個(gè)正交小波Meyer小波1988：StephaneMallat——Mallat快速算法（塔式分解和重構(gòu)算法）51.小波的發(fā)展歷史——工程到數(shù)學(xué)1988：InridDaubechies作為小波的創(chuàng)始人，揭示了小波變換和濾波器組(filterbanks)之間的內(nèi)在關(guān)系，使離散小波分析變成為現(xiàn)實(shí)。RonaldCoifman和VictorWickerhauser等著名科學(xué)家在把小波理論引

4、入到工程應(yīng)用方面做出了極其重要貢獻(xiàn)在信號(hào)處理領(lǐng)域中，自從InridDaubechies完善了小波變換的數(shù)學(xué)理論和StephaneMallat構(gòu)造了小波分解和重構(gòu)的快速算法后，小波變換在各個(gè)工程領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用，典型的如語(yǔ)音信號(hào)處理、醫(yī)學(xué)信號(hào)處理、圖像信息處理等。62.小波變換與傅里葉變換的比較小波分析是在傅里葉分析的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的，但小波分析與傅里葉分析存在著極大的不同，與Fourier變換相比，小波變換是空間（時(shí)間）和頻率的局部變換，因而能有效地從信號(hào)中提取信息。通過(guò)伸縮和平移等運(yùn)算功能可對(duì)函數(shù)或信號(hào)進(jìn)行多尺度的細(xì)化分析

5、，解決了Fourier變換不能解決的許多困難問(wèn)題。小波變換聯(lián)系了應(yīng)用數(shù)學(xué)、物理學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、信號(hào)與信息處理、圖像處理、地震勘探等多個(gè)學(xué)科。72.小波變換與傅里葉變換的比較傅立葉變換的理論是人類數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一個(gè)里程碑，從1807年開(kāi)始，直到1966年整整用了一個(gè)半世紀(jì)多才發(fā)展成熟，她在各個(gè)領(lǐng)域產(chǎn)生了深刻的影響得到了廣泛的應(yīng)用，推動(dòng)了人類文明的發(fā)展。其原因是傅立葉理論不僅僅在數(shù)學(xué)上有很大的理論價(jià)值，更重要的是傅立葉變換或傅立葉積分得到的頻譜信息具有物理意義。遺憾的是，這種理論具有一定的局限性。用傅立葉變換提取信號(hào)的頻譜需要利用信號(hào)

6、的全部時(shí)域信息。傅立葉變換沒(méi)有反映出隨著時(shí)間的變化信號(hào)頻率成分的變化情況。傅立葉變換的積分作用平滑了非平穩(wěn)信號(hào)的突變成分。由于上述原因，必須進(jìn)一步改進(jìn)，克服上述不足，這就導(dǎo)致了小波分析。82.小波變換與傅里葉變換的比較（1）克服第一個(gè)不足：小波系數(shù)不僅像傅立葉系數(shù)那樣，是隨頻率不同而變化的，而且對(duì)于同一個(gè)頻率指標(biāo)j，在不同時(shí)刻k，小波系數(shù)也是不同的。（2）克服第二個(gè)不足：由于小波函數(shù)具有緊支撐的性質(zhì)即某一區(qū)間外為零。這樣在求各頻率水平不同時(shí)刻的小波系數(shù)時(shí)，只用到該時(shí)刻附近的局部信息。從而克服了上面所述的第二個(gè)不足。（3）克服第三個(gè)

7、不足：通過(guò)與加窗傅立葉變換的“時(shí)間—頻率窗”的相似分析，可得到小波變換的“時(shí)間—頻率窗”的笛卡兒積。小波變換的“時(shí)間--頻率窗”的寬度，檢測(cè)高頻信號(hào)時(shí)變窄，檢測(cè)低頻信號(hào)時(shí)變寬。這正是時(shí)間--頻率分析所希望的。根據(jù)小波變換的“時(shí)間—頻率窗”的寬度可變的特點(diǎn)，為了克服上面所述的第三個(gè)不足，只要不同時(shí)檢測(cè)高頻與低頻信息，問(wèn)題就迎刃而解了。93.小波變換的基本原理與性質(zhì)小波是什么？小波可以簡(jiǎn)單的描述為一種函數(shù)，這種函數(shù)在有限時(shí)間范圍內(nèi)變化，并且平均值為0。這種定性的描述意味著小波具有兩種性質(zhì):A、具有有限的持續(xù)時(shí)間和突變的頻率和振幅；B、

8、在有限時(shí)間范圍內(nèi)平均值為0。103.小波變換的基本原理與性質(zhì)小波的“容許”條件用一種數(shù)學(xué)的語(yǔ)言來(lái)定義小波，即滿足“容許”條件的一種函數(shù)，“容許”條件非常重要，它限定了小波變換的可逆性。小波本身是緊支撐的，即只有小的局部非零定義域，在窗口之外函數(shù)為零