求遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的若干方法

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1、《數(shù)學(xué)教學(xué)通訊》2005年第4期求遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的若干方法江蘇省響水中學(xué)高數(shù)組魏立國魏立國簡介魏立國，男，漢族,江蘇省響水中學(xué)教師，中國數(shù)學(xué)奧林匹克一級教練，第十八屆全國希望杯備選題命題人，《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》編輯部特約編輯。他先后有31篇論文在省級以上刊物上發(fā)表，其中有11篇論文在《數(shù)學(xué)通報(bào)》、《數(shù)學(xué)通訊》等國家級刊物上發(fā)表。2008年被響水縣人民政府授予“十佳勞動(dòng)模范”。2013年被鹽城市人民政府授予“鹽城市勞動(dòng)模范”。2015獲評為響水縣首屆最美教師；鹽城市第二屆最美教師提名獎(jiǎng)。2007年、2008年，連續(xù)任教高三，所任教班級學(xué)生數(shù)學(xué)人平分均名列同類班級之首，分

2、別超出省均分31分、32分。2008年他培養(yǎng)的一名學(xué)生在全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽中榮獲一等獎(jiǎng)。2009年任教的高三（15）班，囊括全縣數(shù)學(xué)單科180分以上所有名額。2011年夏天，在江蘇大學(xué)舉辦的全省數(shù)學(xué)競賽中，他培養(yǎng)的四名學(xué)生榮獲全省一等獎(jiǎng)。2012年任教的高三（1）班，在高考中一本達(dá)線率為95%。2015年任教的普通班高三（22）班，超額完成學(xué)校高考指標(biāo)，與此同時(shí)，一位同學(xué)取得數(shù)學(xué)單科同省理科狀元同分的數(shù)學(xué)高分。1、不動(dòng)點(diǎn)法：把方程f(x)=x的根叫做函數(shù)f(x)7《數(shù)學(xué)教學(xué)通訊》2005年第4期的不動(dòng)點(diǎn)，方程f(x)=x叫特征方程。(1)一般對遞推數(shù)列①當(dāng)函數(shù)f(x)有兩個(gè)不

3、同的不動(dòng)點(diǎn)，令，則問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列.②當(dāng)函數(shù)f(x)有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，可令問題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列.(2)設(shè)函數(shù)有兩個(gè)不同不動(dòng)點(diǎn)x1,x2且確定數(shù)列{an}則證明：∵x1,x2是方程兩根，∴∴，，∴例1、(04年南京市高模題)已知函數(shù)，數(shù)列{xn}滿足xn+1=f(xn)，(n∈N*)且x1=1，設(shè)，求證：an+1

4、易求(2)由得，等根x=0，即令得，，說明：本題是不動(dòng)點(diǎn)只有一個(gè)的情形，不用上面結(jié)論，當(dāng)然也可以直接取倒數(shù)轉(zhuǎn)化.例3、數(shù)列求通項(xiàng)an.解：方程兩根7《數(shù)學(xué)教學(xué)通訊》2005年第4期即2、特征根法遞推式的通項(xiàng)，由齊次解和特解組成，其中齊次方程解可由特征方程求，其特解由f(n)形式按一定規(guī)律，類似給出。例1、(03年全國高考題)設(shè)a0為常數(shù)且證明：對任意證明：特征方程解是，則齊次解，設(shè)特解為代入原遞推式，故通解為即證例2、已知sn是數(shù)列{an}前n項(xiàng)和，并且求數(shù)列{an}通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和Sn解：特征方程得，即齊次方程解，即a2=5，得即例3、數(shù)列{an}中，,求通項(xiàng)an

5、.解：特征方程，特征根,∴齊次方程解，設(shè)特解為代入原遞推式，得，7《數(shù)學(xué)教學(xué)通訊》2005年第4期例4、已知數(shù)列{an}滿足條件：(1)a1=a2=1,a3=2,a4=4,(2)an=an-1+an-3+an-4(n>4)求通項(xiàng)公式an.解：特征方程x4-x3-x-1=0四根通項(xiàng)公式由初值條件得即說明：特征根求通項(xiàng)公式實(shí)際包括平時(shí)所說①②③形式3、轉(zhuǎn)化法：通過適當(dāng)變形轉(zhuǎn)化成熟悉的基本數(shù)列例1、（2004年北京西城區(qū)高模題）已知正項(xiàng)數(shù)列{an}和{bn}中，a1=a，（0

6、2）求數(shù)列{an}通項(xiàng)公式(1)證明：由數(shù)學(xué)歸納法易證（2）解：由bn=1-an得，，又即，，即例2、數(shù)列{an}中，a1=1，n≥2時(shí)，其前n項(xiàng)和Sn，滿足，求sn表達(dá)式.7《數(shù)學(xué)教學(xué)通訊》2005年第4期解：由an=sn-sn-1得，，即，，例3、設(shè)a0為常數(shù)，且證明對任意n≥1.證明：兩邊同除以3n得，令，，即即說明：例1、例2把所求數(shù)列轉(zhuǎn)化成倒數(shù)，例3其實(shí)把a(bǔ)n=an-1+qn轉(zhuǎn)化成形式4、取對數(shù)法例：在正項(xiàng)數(shù)列{an}中，求通項(xiàng)公式解：兩邊取對數(shù)得即說明：運(yùn)用對數(shù)方法，可將含有指數(shù)或根式遞推式轉(zhuǎn)化為等差，等比數(shù)列求解.5、數(shù)學(xué)歸納法（全國高考題）設(shè)數(shù)列{an}

7、滿足當(dāng)a1=2時(shí)，求a2,a3,并猜想an一個(gè)通項(xiàng)公式，并證明當(dāng)a1=2時(shí)，易得a2=3,a3=4，猜想an=n+1證明：當(dāng)n=1時(shí)，顯然成立，若n=k時(shí)成立，則當(dāng)n=k+1時(shí)，，即當(dāng)n=k+17《數(shù)學(xué)教學(xué)通訊》2005年第4期時(shí)也成立，所以an=n+1成立.7