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1、求遞推數(shù)列通項公式方法探析數(shù)列是中學數(shù)學的一項主要內容，求數(shù)列的通項特別是遞推數(shù)列的通項是其中的一個難點，也是近年來高考中?？嫉膬热?現(xiàn)就從中學階段常見的幾類遞推式入手，淺談求遞推數(shù)列通項公式的方法.一、an+1=pan+q(其中p,q是常數(shù))型一般可用待定系數(shù)法，轉化為等比數(shù)列問題.設遞推式可化為an+1+x=p(an+x),即an+1=pan+(p-1)x,得x=qpT.｛an+qp-1｝是以a1+qp-l為首項，q為公比的等比數(shù)列./.an+qp-l=(a1+qp-l)qn-1,從而求出an.二、an+1=pan+qn(p,q為常
2、數(shù))型此類型的基本方法是先轉化為類型一再由待定系數(shù)法求得通項.原式可轉化為an+1qn+1=pq?anqn+1,令anqn=bn,①即bn+1=pqbn+1,則由類型一求出bn,再代入①可求得an.三、an+1=an+f(n)型此類型｛an｝可轉化為an+1-an=f(n),其中｛f(n)｝是可求和數(shù)列，即逐項作差：a2-al=f(l),a3_a2-f⑵，???an~an-1二f(n-1).將以上式子累加得：an~a1二f(l)+f(2)+???+f(nT).設求得f(1)+f(2)+(n-1)=g(n),則有an=al+g(n).這種
3、求數(shù)列通項的方法即為迭加法.四、an+1=anf(n)型此類型｛an｝可轉化為an+1an=f(n),其中｛f(n)｝是可求積數(shù)列，即可逐項作商如下：a2al=f(1),a3a2=f(2),a4a3,…，anan-1=f(n-l),將以上式子兩邊分別相乘，得anal=f(l)?f(2)?f(3)-f(n-l).設求得f(l)?f(2)?f(3)-f(n-l)=g(n),則有an=alg(n),這種求數(shù)列通項的方法即為迭乘法.五、an+1二pan+qan~l(p,q為常數(shù))型此類型可設an+1+xan=y(an+xan~l),即an+1=
4、(y-x)an+yxanT,??y-x二p,xy二qx2+px-q=0.由一元二次方程可解出X、y的值，構造｛an+1+xan｝等比數(shù)列（公比為y）,從而可轉化為類型一來求通項.、兀、其他類型[例1】若數(shù)列{an}滿足a1=12,an=l-lan~l(n^2,nGN).,求a2003解：n二l,a1=12；n=2,a2=-l;n=3,a3=2；n=4,a4=12；?I{an}是以3為周期的數(shù)列，則a2003=a667X3+2=a2二T.[例2]已知數(shù)列｛an}滿足12a1+122a2+???+12nan二2n+5(nUN),求{an｝的
5、通項公式.解：12a1+122a2+???+12nan二2n+5,①a1+122a2+???+12nTan-1二2(nT)+5(n22)?②兩式相減得12nan=2(n^2),即an=12n+1(n±2)?/.an=14(n=l)；12n+1(n$2).若數(shù)列｛an｝的遞推公式是an+1=f(an),則用遞推法求通項的一般方法是：an=f(an~l)=f(f(an~2))=f(f(f(an-3)))=…【例3】設an+1=a2n,a1=2,求an.解：Tan+1=a2n,??3.n~3.2n—1~(3.2n~2)2二(an-2)22=(
6、a2n-3)22=(an-3)23二???二a2n~l1=22nT遞推數(shù)列通項的求法還有很多，比如歸納法、換元祛、特征根法、矩陣法等，無論是高考還是平時訓練中，需要充分利用它們之間的關系，靈活自如地進行轉化，將已知數(shù)列變?yōu)槲覀兪煜さ?、簡單的等差?shù)列或等比數(shù)列.(責任編輯金鈴)
