利用微積分求極限的簡(jiǎn)捷方法

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1、學(xué)士學(xué)位論文BACHELOR’STHESIS　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　編號(hào)學(xué)士學(xué)位論文利用微積分求極限的簡(jiǎn)捷方法學(xué)生姓名：瑪依熱姆·圖爾迪學(xué)號(hào)：20080103009系部：數(shù)學(xué)系專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)年級(jí)：08-1班指導(dǎo)教師：姑麗巴哈爾．穆罕默德艾力完成日期：2013年4月3日18學(xué)士學(xué)位論文BACHELOR’STHESIS中文摘要本論文主要討論了如何利用微積分計(jì)算初等函數(shù)（反三角函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，常數(shù)函數(shù)）和非初等函數(shù)（被積函數(shù)）的極限，及其分析性質(zhì)：導(dǎo)數(shù)的定義，微分中值定理，積分中值定

2、理，定積分定義，廣義積分定義．其次討論了上述定義和定理的應(yīng)用和計(jì)算方法，定理的證明，且給出了11個(gè)例題．關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)；微分；積分；導(dǎo)數(shù)的定義；定積分定義；微分中值定理；積分中值定理；廣義積分定義18學(xué)士學(xué)位論文BACHELOR’STHESIS目　錄中文摘要1引言31.利用微分求極限的特殊方法31.1利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限的方法31．2利用微分中值定理求極限的方法52.利用積分求極限的特殊方法72.1利用定積分定義求極限的方法72.2利用積分中值定理求極限的方法112.3利用廣義積分定義求極限的方法12總結(jié)15參

3、考文獻(xiàn)16致謝1718學(xué)士學(xué)位論文BACHELOR’STHESIS引言極限是數(shù)學(xué)分析中的重要概念之一，是解決微積分問(wèn)題的基本方法．微積分中的重要概念導(dǎo)數(shù)，積分都利用極限來(lái)定義．計(jì)算微分，積分都是計(jì)算極限的另一種形式．雖然用求極限方法能計(jì)算一些簡(jiǎn)單式子的極限，但對(duì)于復(fù)雜式子的極限過(guò)程不僅復(fù)雜，并且無(wú)法計(jì)算．所以本文介紹利用微積分除了計(jì)算一些簡(jiǎn)單式子的極限之外，還要計(jì)算較復(fù)雜式子極限的幾種快捷方法．1.利用微分求極限的特殊方法1.1利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限的方法定義1（導(dǎo)數(shù)的定義）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)有定義，若極限存

4、在，則稱函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，并稱該極限為函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，記作．令則式可改寫為18學(xué)士學(xué)位論文BACHELOR’STHESIS．例1求極限，其中為自然數(shù)．解令，則=，故從而，原式====．例2設(shè)，存在，且，則．證先仔細(xì)觀察等式，因?yàn)?，所?=．18學(xué)士學(xué)位論文BACHELOR’STHESIS1．2利用微分中值定理求極限的方法定理1(拉格朗日中值定理)若函數(shù)滿足如下條件：在閉區(qū)間上連續(xù)；在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得，．證作輔助函數(shù)．已知函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，又有，根據(jù)羅爾定理，在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使．而

5、．于是.即，因?yàn)椴徽摶?，比值不變，所以式?duì)或，成立，即或，在在與之間．因?yàn)椋?，所以式也常寫為，?8學(xué)士學(xué)位論文BACHELOR’STHESIS例3計(jì)算．解設(shè)，.例4證明時(shí)，存在，使得且有．證明設(shè)，由中值定理，存在，使得==為了解出，需要利用的展開式18學(xué)士學(xué)位論文BACHELOR’STHESIS所以故．2.利用積分求極限的特殊方法2.1利用定積分定義求極限的方法積分和的極限簡(jiǎn)稱為定積分．所以計(jì)算某一式子的極限時(shí)，若能把此式子表示出某一個(gè)被積函數(shù)，在某一區(qū)間內(nèi)的積分和，則此式子的極限就是我們所選定的被積函數(shù)

6、在它定義某一區(qū)間內(nèi)的定積分．定義2（定積分定義）設(shè)是定義在上的一個(gè)實(shí)值函數(shù).若存在某一實(shí)數(shù)，使得任給，總存在相應(yīng)的，當(dāng)對(duì)所作的分割的細(xì)度時(shí)，屬于的一切積分和都滿足則，稱函數(shù)在上黎曼可知，記作數(shù)稱為在上的定積分或黎曼積分，記作18學(xué)士學(xué)位論文BACHELOR’STHESIS借用極限記號(hào)來(lái)表示定積分，則寫成例5利用定積分定義求極限；解把此極限式化為形如式的積分和的極限，并轉(zhuǎn)化為定積分計(jì)算，為此作如下變形：不難看出，其中的和式是函數(shù)在區(qū)間上的一個(gè)特殊的積分和為等分割，；取，，由于在上滿足牛頓-萊布尼茲公式的條件，故

7、由定積分定義和牛頓-萊布尼茲公式求得例6求極限．解（4）式的和是函數(shù)在區(qū)間的特殊積分和．它是把等分，取為的右端點(diǎn)構(gòu)成的積分和，因?yàn)楹瘮?shù)在可積，由定積分定義，有18學(xué)士學(xué)位論文BACHELOR’STHESIS．定理2若函數(shù)，在上連續(xù)，且有，則；證因?yàn)楹瘮?shù)在上連續(xù)，所以在上可積，把分成個(gè)小區(qū)間所以其中令又因?yàn)椋虼?18學(xué)士學(xué)位論文BACHELOR’STHESIS且因?yàn)樵谏线B續(xù)，所以在上可積，所以．例7計(jì)算．解令，則把區(qū)間分成小區(qū)間，即18學(xué)士學(xué)位論文BACHELOR’STHESIS由定理2，有又．2.2利用積分

8、中值定理求極限的方法定理3（推廣的積分第一中值定理）若與都在上連續(xù)，且在上不變號(hào)，則至少存在一點(diǎn)，使得證不妨設(shè)，.這時(shí)有，，其中M，分別為在上的最大，最小值.由定積分的不等式性質(zhì)，得到.若，則由上式知，從而對(duì)任何，（5）式都成立．若，則得.18學(xué)士學(xué)位論文BACHELOR’STHESIS由連續(xù)函數(shù)的介值性，必至少有一點(diǎn)，使得，.例8計(jì)算．解令，，因知，在上滿足上述定理的條件．所以由推廣的積分第一中值