微積分求極限的方法(2·完整版)

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1、專題一求極限的方法【考點】求極限1、近幾年來的考試必然會涉及求極限的大題目，一般為2-3題12-18分左右，而用極限的概念求極限的題目已不會出現(xiàn)。一般來說涉及到的方法主要涉及等價量代換、洛必達法則和利用定積分的概念求極限，使用這些方法時要注意條件，如等價量代換是在幾塊式子乘積時才可使用，洛必達法則是在0比0，無窮比無窮的情況下才可使用，運用極限的四則運算時要各部分極限存在時才可使用等。2、極限收斂的幾個準則：歸結準則（聯(lián)系數(shù)列和函數(shù)）、夾逼準則（常用于數(shù)列的連加）、單調有界準則、子數(shù)列收斂定理（可用于討論某數(shù)列極限不存在

2、）3、要注意除等價量代換和洛必達法則之外其他輔助方法的運用，比如因式分解，分子有理化，變量代換等等。4、兩個重要極限，注意變形，如將第二個式子中的變成某趨向于0的函數(shù)以構造“”的形式的典型求極限題目。5、一些有助于解題的結論或注意事項需要注意總結，如：（1）利用歸結原則將數(shù)列極限轉化為函數(shù)極限（2）函數(shù)在某點極限存在的充要條件是左右極限存在且相等。有時可以利用這點進行解題，如因左右極限不相等而在這點極限不存在。（當式子中出現(xiàn)絕對值和e的無窮次方的結構時可以考慮從這個角度出發(fā)）（3）遇到無限項和式求極限時想三種方法：①看是

3、否能直接求出這個和式(如等比數(shù)列求和)再求極限②夾逼定理③用定積分的概念求解。（4）如果f(x)/g(x)當x→x0時的極限存在，而當x→x0時g(x)→0，則當x→x0時f(x)也→0（5）一個重要的不等式：（）*其中方法②③考到的可能性較大。6、有關求極限時能不能直接代入數(shù)據(jù)的問題。7、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質（最值定理、根的存在性定理、介值定理）8、此部分題目屬于基本題型的題目，需要盡量拿到大部分的分數(shù)。【例題精解·求極限的方法】方法一：直接通過化簡，運用極限的四則運算進行運算。【例1】求極限解=注：此題通過洛必達法

4、則進行求解也非常方便。還可通過變量代換構造等價量?！纠?】求極限解注：1、遇到“根號加減根號”基本上有兩種方法——有理化和采取倒變量的方法。2、一個最基本的多項式極限(系數(shù)均不為0)：①若n>m，則極限為正無窮；②若n

5、逼定理=1方法四&方法五：等價量代換、洛必達法則——未定式極限。（化加減為乘除！）【例5】求極限解原式=【例6】求極限解=【例7】求極限解原式====【例8】求極限解：直接運用洛必達法則和等價量代換可得=====1+4+9=14【例9】求極限解：由換底公式，=()==若，則極限為；若，則極限為，綜上，極限為方法六：冪指函數(shù)求極限——取對數(shù)再取指數(shù)?！纠?0】解【例11】解【例12】求極限?注意x是趨向正無窮，此時需要先分析底數(shù)和指數(shù)分別趨向于多少，分析底數(shù)易知底數(shù)趨向于正無窮。但是指數(shù)arccotx這個函數(shù)不是很熟，可以

6、通過圖像先分析cotx再分析arccotx趨向于多少，最后得出結論是指數(shù)趨于0。故是一個“”型，所以要用“先取對數(shù)再取指數(shù)”的方法。對于之后arccotx的處理，若用羅比達對其求導則會發(fā)現(xiàn)再接下來比較難做，這里給出一個轉化為熟悉的，可等加量代換的式子的方法，方法較靈活，需要對三角函數(shù)之間的轉換有很深的熟悉度。解原式======?關于第三個等號左右的變化：令，則，故，，綜上，方法七：運用泰勒定理求極限——適用于直接洛必達不好算時考慮的方法。【例13】求極限解,代入原式可得，原式===方法八：通過定積分的概念來求極限【例14

7、】求解由于此題無法直接對式子進行化簡，也無法用夾逼定理，故想到用定積分的概念來求解，即原式===此時由定積分的概念可將上面的和式看成被積函數(shù)在[0,1]上的定積分，故==【例15】求極限解【例16】【分析】此題看似復雜，其實仔細觀察可以發(fā)現(xiàn)本質仍為無限項的和式求極限，故再次想到用定積分的概念求解。故我們需要找到定積分概念中和式極限的“”和“”?！啊蔽覀兛梢灶愃啤纠?】，自己把這一項構造出來，而這一項不同于我們以往做過的題目中經(jīng)常取小區(qū)間的左端點或右端點，而是取了中間一個點，但是無論如何，由于“取點的任意性”，只要能表示成

8、中的一種即可看作為0到1上的定積分。解：原式=故原式=【一些核心問題&問的很多的題目】1、求極限的時候到底什么時候可以直接代進去？【例子1】【例子2】【例子3】【例子4】,2、蘇德礦版微積分P104T107令，化簡方程【一些練習題，有點難度，可做可不做】1、2、=1，=2，，，求3、答案：1、12、03、