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1、淺談微積分中求極限的方法摘要極限是微積分的一條基本線索，本文概述了微積分中幾種常用的求極限的方法：利用極限的定義驗(yàn)證極限；利用單調(diào)有界定理求極限；利用初等變換求極限；利用夾逼性求極限；利用兩個主要極限求極限；利用洛必達(dá)法則求極限；利用等價量代換求極限；利用定積分求極限；利用上下極限法求極限；利用壓縮性條件求極限；利用遞推公式求極限；利用泰勒展開式求極限等.關(guān)鍵詞極限;洛必達(dá)法則;單調(diào)有界.1利用數(shù)列極限的定義驗(yàn)證極限利用極限的定義驗(yàn)證極限，應(yīng)先根據(jù)極限的唯一性求出極限，然后再證明極限的存.例1求=.解因要證：只需證：N=m
2、ax因此只要既有：所以，2利用單調(diào)有界定理求極限利用單調(diào)有界定理求極限的依據(jù)是單調(diào)有界數(shù)列必有極限.所以我們在求極限時一般分三個步驟：1證單調(diào)性2證有界性3設(shè)出極限，求解關(guān)于極限的方程.例2證明序列的極限存在，并求.證明令=則：故，由及的單調(diào)遞增性知：（1）若，則設(shè)時則由歸納法可知：于是即顯然：故.于是：單調(diào)遞增且有上界，于是收斂，我們記收斂于，則于是在中取極限值，得：可得而.（2）時則同理可證：于是：即顯然故故單調(diào)遞減，且有下界，故收斂.同樣可知.3利用初等變換求極限利用初等變換是將變形，然后求極限。利用初等變換求極限也
3、是求極限的一個重要方法，應(yīng)該熟練的掌握。利用初等變換求極限時要注意變形的準(zhǔn)確性，要做有利于解題的變形.例3設(shè)=求.解兩邊同乘以，則可以得到：===.4利用夾逼性定理求極限夾逼性是指若存在自然數(shù)，當(dāng)時，恒有若則，利用夾逼性求極限時，應(yīng)注意將做適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小.例4求極限.解記則.又從而.例5.解由:從而不等式兩邊同時開次得：因?yàn)?，由夾逼定理知：.5利用兩個重要極限求極限兩個重要極限是：（1）（2）.其中第一種重要極限可理解為，而第二種極限可以理解為或者.兩個重要求極限是求極限的一個重要手段。我們要根據(jù)題目中給出的條件靈活的選
4、擇適當(dāng)?shù)男问?，以使運(yùn)算更加便.例6求.解6利用洛必達(dá)法則求極限利用洛必達(dá)法則求極限的時候應(yīng)該注意到或不存在不能得出或也不存在.洛必達(dá)法則是處理未定式極限的重要手段，且非常有效.但它只能應(yīng)用于（）型和型的未定式.只要是（）型和型的，都可一直進(jìn)行下去.每完成一次法則都要將式子化簡.而對于等形式，需化為（）型和型的形式求解.例7求解=====0例8證明：.證明其中用了變量代換例.7利用定理求極限定理是求分式數(shù)列極限的常用方法，是求極限的重要手段.定理：設(shè)是單調(diào)增加的正無窮大量，（可以是有限量，），則.例9設(shè)（其中）.求.解因，應(yīng)
5、用公式，=（再次用公式）.8利用等價量代換求極限等價量代換是我們求解極限問題常用的方法.解題時要注意無窮小量的代換，熟悉常用的無窮小量代換，能便捷的求出極限.注意幾個幾個常用的無窮小量等價替換：其中且為常數(shù).例10求極限.解====1.9利用定積分求極限定義：若f（x）在[a,b]上可積，則對[a,b]的任一分割T：，及介點(diǎn)都有其中，.例11求極限.解記則，，它可看作在上對應(yīng)于等分割以及介點(diǎn)的積分和.于是，故.10利用上下極限法求極限利用上下極限法求極限是一個很好的求極限方法，適用于一般的求數(shù)列極限，要很好的掌握.收斂的充
6、分必要條件是：.例12設(shè)，.則收斂證明若，則.由時，知，，設(shè)在已知等式中，分別取上下極限，知：，易知故收斂.11利用微分中值定理求極限微分中值定理和其他求極限的方法聯(lián)系起來，能使問題更簡便例13求極限.解設(shè)，在與所構(gòu)成的區(qū)間上應(yīng)用Lagrange中值定理：4(介于).12利用壓縮性條件求極限原理：設(shè)滿足：則收斂.例14設(shè)，求.解首先證明的存在：由已知條件：又顯然,于是，故于是存在，記為則在上式中求極限：，即又故：于是：（舍去）.13利用遞推公式求極限理論：我們常常見到一些數(shù)列滿足,我們可以利用的規(guī)律性來推得某些關(guān)系再結(jié)合其
7、他求極限的方法，可求得的極.例15Fibonacci數(shù)列,，那么.證明記則：，（1）.則由（1）可得：于是顯然;于是：.滿足壓縮性條件，故收斂于，在（1）中兩端取極限，，且由，可知,即.例16設(shè)，求.解令則從而,于是單調(diào)有界從而收斂，記收斂于，則.由，知：從而（利用公式）.14利用泰勒展開求極限用泰勒公式求極限是將復(fù)合函數(shù)在某點(diǎn)展開，化為統(tǒng)一的多項(xiàng)式形式.例17求極限.解由可得：.綜上所述，以上歸納了求極限的幾種求法.當(dāng)然還有一些其他的方法，如利用麥克勞林公式、利用柯西準(zhǔn)則等等.由于篇幅有限，不再贅述.參考文獻(xiàn)[1]陳紀(jì)修
8、,於崇華等,數(shù)學(xué)分析,高等教育出版社,2002.[2]陸慶樂,高等數(shù)學(xué),西安交通大學(xué)出版社,1998.[3]裴禮文,數(shù)學(xué)分析問題中的典型例題和方法,高等教育出版社,2001.
