俄羅斯教材《代數(shù)學(xué)引論》的啟迪

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1、俄羅斯教材《代數(shù)學(xué)引論》的啟迪（初稿）莊瓦金（漳州師范學(xué)院，福建，363000）二十年前，北京大學(xué)三位教授根據(jù)1982年斯普林格出版社的英文版翻譯了莫斯科大學(xué)A.И.柯斯特利金院士的《代數(shù)學(xué)引論》[1，2]，使得國內(nèi)同行們對俄羅斯高水平的代數(shù)教材有所認(rèn)識。但鑒于中國國情，至今還沒看到該書對中國大學(xué)本科代數(shù)教學(xué)有實(shí)質(zhì)的影響。而今，在中國數(shù)學(xué)會、中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會、國家自然科學(xué)基金委員會的關(guān)注下，數(shù)學(xué)天元基金資助、高等教育出版社出版了慶祝莫斯科大學(xué)成立250周年而推出的一批優(yōu)秀數(shù)學(xué)教材的中譯本，其中有A.И.柯斯特利金的《代

2、數(shù)學(xué)引論》（第二、三版）三卷本[3~5]（以下簡稱《引論》）。筆者看后，很受啟發(fā)，現(xiàn)根據(jù)這幾年來對高等代數(shù)研究的基礎(chǔ)[17~23]，對《引論》作些思索，為提升中國大學(xué)本科代數(shù)教學(xué)水平奉獻(xiàn)余力。一《引論》的特色稍讀[3~5]，筆者認(rèn)為，A.И.柯斯特利金之著有以下四大特色。1繼承性[1]的英文版譯者指出：A.И.柯斯特利金“發(fā)展了莫斯科大學(xué)的代數(shù)課”，這從《引論》著者經(jīng)歷就可以看出。A.И.柯斯特利金1959年獲莫斯科大學(xué)數(shù)理科學(xué)博士學(xué)位，1972年任莫斯科大學(xué)高等代數(shù)教研室主任，1976年升為教授，同年當(dāng)選為蘇聯(lián)科學(xué)院通訊院

3、士，1977－1980任莫斯科大學(xué)數(shù)學(xué)系主任，1991年起為莫斯科大學(xué)學(xué)術(shù)委員會成員，他的《引論》理所當(dāng)然地繼承了А.Г.庫洛什等老一輩代數(shù)學(xué)家的代數(shù)教材，這還從[3~5]的補(bǔ)充文獻(xiàn)也得到進(jìn)一步證實(shí)。在注意《引論》繼承自己前輩工作之時(shí)，我們注意到《引論》三卷本與N.Jacobson的《抽象代數(shù)學(xué)》三卷本[6]在分卷上的相似性，這也多少說明[3~5]繼承了國際上代數(shù)教材的遺產(chǎn)，使得這三卷本能夠更好地貫串一條主線。因此，《引論》的繼承性不僅是莫斯科大學(xué)的，而且也包涵了全世界各著名大學(xué)的。值得一提的是，[3~5]的俄文版，第二卷2

4、004年出版，第三卷2001年出版，估計(jì)第一卷也是2001年出版，也就是說：這三卷本是在著者去世之后出版的。記得Φ.Ρ.甘特馬赫爾的《矩陣論》俄文第二版也是在著者去世后出版的。看來，這里說的繼承性是莫斯科學(xué)派集體繼承性，這是多么偉大的繼承性，它體現(xiàn)了俄羅斯數(shù)學(xué)家的優(yōu)良品格。92整體性《引論》的特色不僅在于教材的系統(tǒng)性，更在于教材的整體性。首先是代數(shù)科學(xué)的整體性，中國的高等代數(shù)與抽象代數(shù)兩門課程，在[3~5]中則整合為一，使整個(gè)代數(shù)教材的水平提高了一個(gè)層次，讓學(xué)生盡早接觸抽象代數(shù)思想，推進(jìn)了學(xué)生對代數(shù)結(jié)構(gòu)的理解。這顯然對于學(xué)生

5、的整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)大有好處。其次是數(shù)學(xué)課程的整體性，《引論》第一卷的前言一開頭就寫到：“人們很早就感到有必要把代數(shù)、線性代數(shù)和幾何放到一個(gè)統(tǒng)一的教程中。而教科書《代數(shù)學(xué)引論》自出版后的22年來可以看作是這種統(tǒng)一處理的初步考試?！币虼?，《引論》突出了代數(shù)與幾何的統(tǒng)一；同時(shí)也注意了與分析的聯(lián)系，特別是注意到了線性代數(shù)的兩大后繼課程：計(jì)算數(shù)學(xué)與泛函分析，這不僅在教材中有交代，而且在基本術(shù)語上相一致，如“線性變換”稱為“線性算子”。再次是數(shù)學(xué)語言的整體性，在[1]中，著者就注意了范疇論，在[4]中注意了范疇中的“態(tài)射”，這或許影響了丘維

6、聲在[7]中前言的用詞。3權(quán)威性《引論》的第一版譯成英文，所加的譯者序就顯示其權(quán)威性，譯者稱A.И.柯斯特處金是“一位有獻(xiàn)身精神且有成就的”，從[3~5]的著者簡介：“主要從事李代數(shù)、有限群、非結(jié)合代數(shù)、上同調(diào)群、群和代數(shù)的組合理論、表示論、整數(shù)格的研究。1968年獲蘇聯(lián)國家獎(jiǎng)。”可見，柯斯特利金幾乎涉及整個(gè)代數(shù)深刻領(lǐng)域的研究，從而保證了他作為莫斯科大學(xué)代數(shù)學(xué)科帶頭人的權(quán)威性，也保證了《引論》的權(quán)威性。這種權(quán)威除了著者的實(shí)力外，還有著者長達(dá)三十年的實(shí)踐，還有著者繼承莫斯科大學(xué)250年的傳統(tǒng)。因此，這種權(quán)威是世界的，因而《引論

7、》已譯成英文、保加利亞文、西班牙文、波蘭文、法文、中文。作為大學(xué)本科教材，沒有這種權(quán)威性，是不可能有如此多種譯本的。4先進(jìn)性《引論》第一卷的前言中，對第三卷有個(gè)說明：這里的代數(shù)屬初等水平，但充分包含了當(dāng)代每個(gè)數(shù)學(xué)家所需的代數(shù)系統(tǒng)。因此可以猜想：《引論》是以培養(yǎng)數(shù)學(xué)家為目標(biāo)的。這在以后的各卷中都有明確的表露。在第一卷的第一章“代數(shù)的起源”中，在對高斯消元法作注時(shí)，提及了1969年的施特拉辛的研究，為第二卷的待解問題：施特拉辛問題作了伏筆。第一章§7的例1是費(fèi)馬猜想，點(diǎn)出了費(fèi)馬數(shù)的最新成果F1945；例2是歐拉研究的一個(gè)多項(xiàng)式：

8、形如n2-n+41的數(shù)；§7的最后的例子是“給定圓周上任意n個(gè)點(diǎn)，確定由9條弦劃分的圓內(nèi)的區(qū)域數(shù)Rn=1++，則留給讀者完成。由此可見，《引論》在闡述代數(shù)起源時(shí)就把人們帶進(jìn)了解決數(shù)學(xué)難題的王國，為貫徹培養(yǎng)數(shù)學(xué)家的宗旨打下基礎(chǔ)。再看《引論》各卷之末，第一卷是“關(guān)于多項(xiàng)式的公開問題”，第二卷是