控制系統(tǒng)的能控性和能觀性

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1、第4章控制系統(tǒng)的能控性和能觀性第1節(jié)能控性和能觀性的定義◆設(shè)線性連續(xù)時(shí)變系統(tǒng)為如在[]上，對(duì)任意，必能找到控制作用，使由轉(zhuǎn)移到，則稱(chēng)系統(tǒng)在時(shí)刻是狀態(tài)完全能控的（能控）。如果由[]上的，能惟一地確定，則稱(chēng)系統(tǒng)在時(shí)刻是狀態(tài)完全能觀（能觀）。能控性描述入支配狀態(tài)的能力，能觀性描述反映的能力?！艟€性定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性和能觀性與無(wú)關(guān)。對(duì)線性定常系統(tǒng)，能控性實(shí)質(zhì)上是描述支配模態(tài)的能力，若有任一模態(tài)不受輸入的控制，系統(tǒng)便不能控；能觀性實(shí)質(zhì)上是反映模態(tài)的能力，若有任一模態(tài)在輸出中得不到反映，系統(tǒng)便不能觀。第2節(jié)線性時(shí)變系統(tǒng)的能控性能觀性判據(jù)1、格拉姆（Gr

2、amian）矩陣判據(jù)階線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)在時(shí)刻能控的充要條件是能控性格拉姆矩陣滿秩；在時(shí)刻能觀的充要條件是能觀性格拉姆矩陣滿秩。證明：以能控性判據(jù)證明為例?！舫浞中宰C明。假設(shè)滿秩，則存在。用構(gòu)造法。對(duì)任意，系統(tǒng)的狀態(tài)解為選擇代入系統(tǒng)狀態(tài)解式并令，則有充分性得證?！舯匾宰C明。用反證法。設(shè)奇異，則必有某使將表達(dá)式代入（過(guò)程略），又可推知，這與的前提相矛盾，故必為非奇異矩陣。必要性得證。證畢。*格拉姆矩陣判據(jù)需要計(jì)算，使用不便。2、能控能觀性矩陣判據(jù)設(shè)、和在時(shí)間域上對(duì)(n-1)階連續(xù)可微，則時(shí)變系統(tǒng)在時(shí)刻能控的充分條件是能控性矩陣滿秩，即時(shí)變系統(tǒng)在

3、時(shí)刻能觀的充分條件是能觀性矩陣滿秩，即式中，，，例：試判斷如下時(shí)變系統(tǒng)在的能控性和能觀性。解：自學(xué)（1）用格拉姆矩陣判斷該系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣滿足故狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣能控性格拉姆矩陣=顯然。所以，系統(tǒng)在時(shí)是能控的。能觀性格拉姆矩陣顯然。所以，系統(tǒng)在時(shí)是能觀的。（2）用能控能觀性矩陣判斷由于、和在上對(duì)高階連續(xù)可微，可采用能控能觀矩陣判斷。顯然，當(dāng)時(shí)，。所以，系統(tǒng)在時(shí)是能控的。顯然，當(dāng)時(shí)，。所以，系統(tǒng)在時(shí)是能觀的。說(shuō)明：算式提供了使的控制量其中一個(gè)的計(jì)算辦法。設(shè)，，則第3節(jié)線性定常系統(tǒng)的能控性能觀性判據(jù)1、能控能觀性矩陣判據(jù)（1）能控性能觀性判據(jù)階線性定常連

4、續(xù)系統(tǒng)能控的充要條件是能控性矩陣滿秩；能觀的充要條件是能觀性矩陣滿秩。注意：　　能控性與C陣及輸出無(wú)關(guān)，能觀性與B陣及輸入無(wú)關(guān)。（2）判據(jù)證明（略）?。?）能控能觀性的對(duì)偶原理若線性定常連續(xù)系統(tǒng)與互為對(duì)偶，即，，則的能控（觀）性與的能觀（控）性等價(jià)。證明：易知，從而，得證。線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)的能控性和能觀性也具有對(duì)偶性。2、基于約旦規(guī)范型的判據(jù)（1）能控性和能觀性的不變性設(shè)系統(tǒng)經(jīng)變換為：可以證明，線性非奇異變換不改變線性系統(tǒng)的能控性和能觀性。（自學(xué)）（2）基于對(duì)角線規(guī)范型的能控性能觀性判椐設(shè)n階系統(tǒng)特征值兩兩互異，經(jīng)非奇異變換所得對(duì)角線規(guī)范型為

5、，其中：，，則系統(tǒng)能控的充要條件是陣沒(méi)有全0行；系統(tǒng)能觀的充要條件是陣沒(méi)有全0列。注意：在對(duì)角線規(guī)范型下，狀態(tài)的能控（觀）性與模態(tài)的能控（觀）性一一對(duì)應(yīng)。證明：系統(tǒng)的能控性矩陣因互異，故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)才能成立。再由與能控性的等價(jià)性，基于對(duì)角規(guī)范型的能控性判據(jù)得證。類(lèi)似，可證基于對(duì)角規(guī)范型的能觀性判據(jù)。證畢。直觀性說(shuō)明：設(shè)系統(tǒng)為單變量系統(tǒng)，記其對(duì)角線規(guī)范型的信號(hào)流圖可表為顯然，當(dāng)且僅當(dāng)/時(shí)，系統(tǒng)能控/能觀。（3）基于約旦規(guī)范型的能控性能觀性判據(jù)設(shè)n階系統(tǒng)的特征值重?cái)?shù)為，經(jīng)非奇異變換變換為約旦規(guī)范型,其中其中為對(duì)應(yīng)于的約旦塊。情況A、陣個(gè)約旦塊的形式

6、均為與陣個(gè)約旦塊相對(duì)應(yīng)，陣和陣均劃分為l個(gè)塊。則有判據(jù)：具有上述形態(tài)的的n階系統(tǒng)能控（能觀）的充要條件是與A陣l個(gè)約旦塊對(duì)應(yīng)的陣各塊末行行向量（陣各塊首列列向量）為非0向量。說(shuō)明：*上述結(jié)構(gòu)的約旦規(guī)范型對(duì)應(yīng)于各特征值只有一個(gè)獨(dú)立的特征向量。*基于對(duì)角線規(guī)范型的能控能觀性判據(jù)是該判據(jù)的特例（各）。情況B、（略）例：判斷所給系統(tǒng)的能控性和能觀性。（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）3、基于傳遞函數(shù)（矩陣）的判據(jù)◆單變量系統(tǒng)判據(jù)單變量系統(tǒng)能控的充要條件是傳遞函數(shù)沒(méi)有零極點(diǎn)對(duì)消；能觀的充要條件是傳遞函數(shù)沒(méi)有零極點(diǎn)對(duì)消；能控且能觀的充要條件是傳遞

7、函數(shù)沒(méi)有零極點(diǎn)對(duì)消?！舳嘧兞肯到y(tǒng)判據(jù)在預(yù)解矩陣中，將中各元的最大公因子與相消后，記其為，且定義傳函矩陣的零點(diǎn)為其分子多項(xiàng)式矩陣各元的公因子，則多變量系統(tǒng)能控的必要條件是矩陣沒(méi)有零極點(diǎn)對(duì)消；能觀的必要條件是矩陣沒(méi)有零極點(diǎn)對(duì)消；能控且能觀的必要條件是矩陣沒(méi)有零極點(diǎn)對(duì)消。例：容易驗(yàn)證其能控且能觀。A陣之的零點(diǎn)為，與的極點(diǎn)相同，抵消后，得其沒(méi)有進(jìn)一步的零極點(diǎn)對(duì)消，滿足系統(tǒng)能控且能觀的必要條件。第4節(jié)能控規(guī)范型與能觀規(guī)范型1、能控規(guī)范型1）單輸入系統(tǒng)的能控規(guī)范型定理：若線性定常單輸入系統(tǒng)能控，則存在線性非奇異變換　，使其變換為能控規(guī)范型　　　　　　　　

8、　?。o(wú)特定形式行向量）式中，為系統(tǒng)特征多項(xiàng)式　　　　　　　的系數(shù)；變換矩陣其中，，即是能控性矩陣逆矩陣的最后一行。證明：略*該能控規(guī)范型有的文獻(xiàn)稱(chēng)為能控規(guī)范Ｉ型。