能控性和能觀性

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1、第五章能控性和能觀性5－1離散時(shí)間系統(tǒng)的可控性定義設(shè)單輸入n階線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)方程為：……………………………………………………………（5－1）其中X(k)__n維狀態(tài)向量；u(k)__1維輸入向量；G__n×n系統(tǒng)矩陣；h__n×1輸入矩陣；如果存在有限步的控制信號(hào)序列u(k)，u(k+1)，…，u(N-1)，使得系統(tǒng)第k步上的狀態(tài)X(k)能在第N步到達(dá)零狀態(tài)，即X(N)＝0，其中N是大于k的有限正整數(shù)，那么就說(shuō)系統(tǒng)第k步上的狀態(tài)X(k)是能控的；如果第k步上的所有狀態(tài)都能控，則稱系統(tǒng)（5－1）在第k

2、步上是完全能控的。進(jìn)一步，如果系統(tǒng)的每一步都是可控的，那么稱系統(tǒng)（5－1）完全可控，或稱系統(tǒng)為能控系統(tǒng)?！《ɡ?單輸入n階離散系統(tǒng)（5－1）能控的充要條件是，能控判別陣：的秩等于n，即：　……………………………………（5－2）【證】：因?yàn)橄到y(tǒng)為一線性系統(tǒng)，不妨設(shè)系統(tǒng)從任一初態(tài)X(0)開始，在第n步轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)，即X(n)=0。根據(jù)離散狀態(tài)方程的解：……………………………………………………（5－3）因?yàn)閄(n)＝0，所以：寫成矢量形式：　…………………………………（5－4）從線性代數(shù)知識(shí)可知，上式中對(duì)于任意

3、的初始狀態(tài)X(0)，要求都存在一組控制序列u(0)，u(1)，…，u(n-1)的充要條件是階系數(shù)矩陣滿秩，即　【例5－1】設(shè)離散系統(tǒng)狀態(tài)方程為：判斷系統(tǒng)的可控性。解：M是一方陣，其行列式為：所以系統(tǒng)能控判別陣滿秩，系統(tǒng)可控?！《ɡ?考慮多輸入離散系統(tǒng)情況，假如線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)方程為：　………………………………………………………（5－5）其中X為階矢量，U為階矢量，G為階矩陣，H為n×r階能控矩陣。那么離散系統(tǒng)（5－5）能控的充要條件是：能控判別陣的秩等于n。（證略）?！　纠?－2】已知某離散系統(tǒng)的系統(tǒng)

4、矩陣G和輸入矩陣H分別為：試分析系統(tǒng)可控性。解：我們可以從M陣的前3個(gè)列明顯看出，Rank（M）=3=n，即滿秩，所以系統(tǒng)可控。5－2線性定常連續(xù)系統(tǒng)能控性定義對(duì)于單輸入n階線性定常連續(xù)系統(tǒng)　…………………………………………………………………（5－6）若存在一個(gè)分段連續(xù)的控制函數(shù)u(t)，能在有限的時(shí)間段內(nèi)把系統(tǒng)從時(shí)刻的初始狀態(tài)X()轉(zhuǎn)移到任意指定的終態(tài)，那么就稱（5－6）系統(tǒng)在時(shí)刻的狀態(tài)是能控；如果系統(tǒng)每一個(gè)狀態(tài)都能控，那么就稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全可控的。反之，只要有一個(gè)狀態(tài)不可控，我們就稱系統(tǒng)不可控。對(duì)于線

5、性定常連續(xù)系統(tǒng)，為簡(jiǎn)便計(jì)，可以假設(shè)，，即0時(shí)刻的任意初始狀態(tài)，在有限時(shí)間段轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)（原點(diǎn)）。　定理3n階系統(tǒng)（5－6）能控的充要條件為能控判別陣：　……………………………………………………………（5－7）的秩等于n?！咀C】我們知道狀態(tài)方程（5－6）的解為：　…………………………………………………（5－8）根據(jù)上述能控性定義，考慮時(shí)刻的狀態(tài)，有：　…………………………………………………………（5－9）根據(jù)第三章（3－18）式：　…………………………………………………………………（5－10）其中是線性無(wú)關(guān)

6、的標(biāo)量函數(shù)。將（5－10）代入（5－9）得：　…………………………………………（5－11）其中：　…………………………………………………………（5－12）所以；……………………………………（5－13）對(duì)于任意給定的初始狀態(tài)X(0)，如果系統(tǒng)可控，那么都應(yīng)該從（5－13）式求出一組值。根據(jù)線性代數(shù)知識(shí)，的系數(shù)矩陣的秩應(yīng)等于n，即：求出一組后，根據(jù)（5－12）就可以求出一組分段連續(xù)的控制u(t)。　【例5－3】判別下列線性系統(tǒng)的可控性。解：Rank（M）=3=n，所以系統(tǒng)可控?！　　纠?－4】試分析下列系統(tǒng)的

7、可控性。①，②解：①所以，當(dāng)，且λ1≠λ2時(shí)，

8、M

9、≠0,系統(tǒng)可控。②所以當(dāng)時(shí)系統(tǒng)可控，否則不可控?！《ɡ?對(duì)于多輸入n階連續(xù)定常系統(tǒng)　…………………………………………………………………………（5－14）其中A為n×n階陣，B為n×r階陣，u為r維輸入。系統(tǒng)能控的充要條件為能控判別陣的秩等于n，即rank(M)=n(證明略)　【例5－5】試分析下列系統(tǒng)的可控性。解：∵Rank（M）=2

10、對(duì)消，那么系統(tǒng)可控，否則系統(tǒng)不可控。（證明略）　【例5－6】已知，分析其可控性。解：u(t)對(duì)X(t)的傳遞函數(shù)為：因?yàn)榘l(fā)生零極點(diǎn)對(duì)消，所以不可控。實(shí)際上，所以系統(tǒng)不可控。本例系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖5－1所示，初看起來(lái)似乎狀態(tài)都與系統(tǒng)控制u(t)有關(guān)聯(lián)，應(yīng)該受u(t)控制。但是由于內(nèi)部的線性相關(guān)性，使得對(duì)任意給定初始狀態(tài)X(0)，找不到分段連續(xù)的控制u(t)，能將X(0)的兩個(gè)分量同時(shí)轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)，所以系統(tǒng)是不可控的?！D5－1系統(tǒng)