能控性與能觀性分析.docx

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1、Chapter3能控性與能觀性現(xiàn)代控制理論中，用狀態(tài)空間方法描述系統(tǒng)，將系統(tǒng)的的輸出輸入關(guān)系分成兩部分，一部分是系統(tǒng)的控制輸入對狀態(tài)的影響，由狀態(tài)方程描述；另一部分是系統(tǒng)輸出與狀態(tài)的關(guān)系，由輸出方程描述。I960年，Kalman根據(jù)“控制輸入對狀態(tài)的影響”首先提出了系統(tǒng)狀態(tài)的能控性問題，根據(jù)“輸出與狀態(tài)的關(guān)系”提出了系統(tǒng)狀態(tài)的能觀性問題。能控性：輸入”⑴能否通過“狀態(tài)方程”引起系統(tǒng)任一狀態(tài)兀⑴的變化乂⑴？能控性描述通過輸入“⑴對系統(tǒng)狀態(tài)兀⑴的控制能力;能觀性「系統(tǒng)任一狀態(tài)兀⑴的變化能否通過“輸出方程”引起輸出y(r)的變化？或者由輸出)0)的變化能否通過“輸出方程”確定系

2、統(tǒng)所有狀態(tài)變量區(qū)⑴，能觀性描述通過輸出)心)對系統(tǒng)狀態(tài)x(/)的測辨能力。3.1系統(tǒng)的能控性3.1.1能控性的定義和性質(zhì)系統(tǒng)能控性定義：在初始時刻時，對系統(tǒng)施加控制"⑴使系統(tǒng)狀態(tài)4)發(fā)生變化,并且輸出y(t),x(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t),y(t)=C(t)x(t),t>tQx,(r)xM圖3-1能控性與能達性如果在有限時間內(nèi)存在容許(滿足￡

3、w(r)

4、2dr

5、］上是完全能控(簡稱能控)的。而由0初態(tài)x(t.)=0,在時間“0，/」內(nèi)轉(zhuǎn)移到任意不為0的終態(tài)班“)工0稱為能達性；對于線性定常系統(tǒng)，能控必能達，能達必能控，二者等價。(參見圖3-1)系統(tǒng)能控性的基本性質(zhì)：狀態(tài)方程的解兀⑴=①(仏)兀0+

6、o(z,r)B(r)w(r)dr(3-1)根據(jù)定義，若狀態(tài)向量是能控的，則存在容許控制u(t),使x(rJ=O(rd,r0)x0+

7、

8、仏⑴(傳遞性),r)fi(r)w(r)drX(G)=一J①(5厶)①匕，「)〃0)"(廠)€1廠*0對線性定常系統(tǒng)，①(<,C=eA(k°上式口J寫成x(5)=-peA(/°"r)B-w(r)dr(3-2)A)3.1.2能控性判據(jù)—1將e~Ar^成有限和形式屮代入(3-2)式可得Jt=0兀0=-￡e~ArB?w(r)dr〃一1A=0[-￡zA(r>(r)dr]=A/i-ik=0ABrc=(BAB...占B)(3-3)A)An-lB)m■.卩n-)若系統(tǒng)能控，上式就有解，所以對任意向量勺，其充耍條件是能控矩陣滿秩。定理3-1(心定理3.1.1)?階線性定常系統(tǒng)g)=A?

9、x(r)+3?u(/)完全能控的充要條件是nxnm能控矩陣rankrc=rank(BAB...4心3)=〃滿秩！該定理也適合離散系統(tǒng)。推論：系統(tǒng)是否能控只與輸入矩陣B有關(guān)，而與輸出矩陣C以及終端時間無關(guān)。若系統(tǒng)在區(qū)間仏厶］上是完全能控的，那么系統(tǒng)在區(qū)間［ta,th>ta］也一定是完全能控的。即在某一時間段完全能控的系統(tǒng)，在隨后的時間段也一定是完全能控的。線性代數(shù)中己經(jīng)證明，rankr；、=nmk（r；T：J，對單輸入系統(tǒng)，R是方陣，而對多輸入系統(tǒng)，（Q巧）才是方陣，所以，一個判斷能控矩陣是否滿秩的方法是:檢驗“方陣”或det（RT：）二^0,如杲怕（匚丁1）工0，能控性矩

10、陣滿秩，如果行列式det（rcr^）=o,則能控性矩陣不滿秩。例3-1（參考坊2例3.1.3,人5習(xí)題1-8）判斷二階水槽系統(tǒng)的能控性。/?、%]/+%0、/、1為丿10~a2)02丿<0仇丿U2)rankfc=rank(BAB)解:-rank勺由此可見,0一d］b］/?20—>只有當(dāng)參數(shù)休E都工0,以上能控性矩陣才是滿秩的。此時系統(tǒng)是完全能控的，即當(dāng)水位高度偏離平衡位置時，可以通過調(diào)節(jié)兩個閥門小“2調(diào)節(jié)水位高度回到平衡位置。故系統(tǒng)是能控的，說明水的輸入量能夠控制兩個水槽的水位他、九的變化。因為由圖，兩個閥門，兩個輸入。若b}=0相當(dāng)TU}=o的同時，兀2對石的影響也

11、沒有了，所以此時兀］⑴不能控；若“2=0,相當(dāng)于w2=0,所以兀2⑴不能控。能控性的直接判別對于某些特例，系統(tǒng)的能控性可直接判別。*定理1若線性定常系統(tǒng)x（t）=Ax（t）+Bu（t）的A為對角形,且對角線上的元素（特征值）均不相同，則狀態(tài)完全能控的充要條件是B陣沒有全為零的行。勺2"131、…q加/、■■■?■■■■■??????+0,1■0,2■0/3■…°泅??U.■人丿■■bnl■?????bgi)■第i行全為0,所以,第i個狀態(tài)X,-=A-X/與所有輸入無關(guān)，兀是不能控的，因此系統(tǒng)不完全能控。反過來，如果B陣沒有一