資源描述：
《3.能控性與能觀性分析》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、《現(xiàn)代控制理論》講義第3章能控性與能觀性分析Chapter3能控性與能觀性現(xiàn)代控制理論中，用狀態(tài)空間方法描述系統(tǒng)，將系統(tǒng)的的輸出輸入關系分成兩部分，一部分是系統(tǒng)的控制輸入對狀態(tài)的影響，由狀態(tài)方程描述；另一部分是系統(tǒng)輸出與狀態(tài)的關系，由輸出方程描述。1960年，Kalman根據“控制輸入對狀態(tài)的影響”首先提出了系統(tǒng)狀態(tài)的能控性問題，根據“輸出與狀態(tài)的關系”提出了系統(tǒng)狀態(tài)的能觀性問題。能控性：輸入能否通過“狀態(tài)方程”引起系統(tǒng)任一狀態(tài)的變化？能控性描述通過輸入對系統(tǒng)狀態(tài)的控制能力；能觀性：系統(tǒng)任一狀態(tài)的變化能否通過“輸
2、出方程”引起輸出的變化？或者由輸出的變化能否通過“輸出方程”確定系統(tǒng)所有狀態(tài)變量，能觀性描述通過輸出對系統(tǒng)狀態(tài)的測辨能力。3.1系統(tǒng)的能控性3.1.1能控性的定義和性質系統(tǒng)能控性定義：在初始時刻時，對系統(tǒng)施加控制使系統(tǒng)狀態(tài)發(fā)生變化，并且輸出,，，圖3-1能控性與能達性如果在有限時間內存在容許（滿足）的控制向量，能使此系統(tǒng)從不為0的初始狀態(tài)轉移到0終態(tài)，則稱狀態(tài)在上是能控的，或稱在時刻上是能控的。若對系統(tǒng)狀態(tài)的任一元素均能滿足上述條件，則稱系統(tǒng)在上是完全能控（簡稱能控）的。而由0初態(tài)，在時間內轉移到任意不為0的終態(tài)
3、稱為能達性；16《現(xiàn)代控制理論》講義第3章能控性與能觀性分析對于線性定常系統(tǒng)，能控必能達，能達必能控，二者等價。（參見圖3-1）系統(tǒng)能控性的基本性質：狀態(tài)方程的解（3-1）根據定義，若狀態(tài)向量是能控的，則存在容許控制，使由此可反解出與積分變量無關，可以放到積分號下（反演性），（傳遞性）對線性定常系統(tǒng)，上式可寫成（3-2）3.1.2能控性判據將寫成有限和形式代入（3-2）式可得若系統(tǒng)能控，上式就有解，所以對任意向量，其充要條件是能控矩陣滿秩。（3-3）定理3-1(定理3.1.1)階線性定常系統(tǒng)完全能控的充要條件是能
4、控矩陣滿秩！該定理也適合離散系統(tǒng)。16《現(xiàn)代控制理論》講義第3章能控性與能觀性分析推論：系統(tǒng)是否能控只與輸入矩陣有關，而與輸出矩陣以及終端時間無關。若系統(tǒng)在區(qū)間上是完全能控的，那么系統(tǒng)在區(qū)間也一定是完全能控的。即在某一時間段完全能控的系統(tǒng)，在隨后的時間段也一定是完全能控的。線性代數(shù)中已經證明，，對單輸入系統(tǒng)，是方陣，而對多輸入系統(tǒng)，才是方陣，所以，一個判斷能控矩陣是否滿秩的方法是：檢驗“方陣”或，如果，能控性矩陣滿秩，如果行列式，則能控性矩陣不滿秩。例3-1(參考例3.1.3，習題1.8)判斷二階水槽系統(tǒng)的能控性
5、。解：由此可見，只有當參數(shù)都，以上能控性矩陣才是滿秩的。此時系統(tǒng)是完全能控的，即當水位高度偏離平衡位置時，可以通過調節(jié)兩個閥門調節(jié)水位高度回到平衡位置。故系統(tǒng)是能控的，說明水的輸入量能夠控制兩個水槽的水位的變化。因為由圖，兩個閥門，兩個輸入。若相當于的同時，對的影響也沒有了，所以此時不能控；若，相當于，所以不能控。能控性的直接判別對于某些特例，系統(tǒng)的能控性可直接判別。*定理1若線性定常系統(tǒng)的為對角形，且對角線上的元素（特征值）均不相同，則狀態(tài)完全能控的充要條件是陣沒有全為零的行。，第行全為0，所以，16《現(xiàn)代控制
6、理論》講義第3章能控性與能觀性分析第個狀態(tài)與所有輸入無關，是不能控的，因此系統(tǒng)不完全能控。反過來，如果陣沒有一行全為0，比如第行中，元素，則至少有一個分量可以對其控制。*定理2若線性定常系統(tǒng)的為約當形，并且每個約當塊所對應的特征值均不相同，則狀態(tài)完全能控的充要條件是陣中與每個約當塊所對應的最后一行中，沒有一個最后行全為零。設特征值為，若最后行全為0，則最后一個狀態(tài)分量就是不能控的，因此系統(tǒng)不完全能控。反過來，若最后一行有某個分量則至少有一個分量可以對其控制。如果是其他行（不是最后一行）全為0，極端情況，控制矩陣只
7、有，其他元素均為0，，，系統(tǒng)仍然是能控的。例3-2(例3.1.4)判斷能控標準型是否狀態(tài)完全能控？16《現(xiàn)代控制理論》講義第3章能控性與能觀性分析解：它是一個三角形矩陣，反對角線上的元素均為1，無論取何值，矩陣行列式都不等于零，因此系統(tǒng)總是狀態(tài)完全能控的。對給定的狀態(tài)空間模型，Matlab給出了系統(tǒng)能控性矩陣的函數(shù)。因此，對于單輸入系統(tǒng)，可根據來判斷系統(tǒng)的能控性；對于多（單）輸入系統(tǒng)可用來判斷系統(tǒng)的能控性。此外，無論單輸入還是多輸入，都可以直接用秩函數(shù)判斷。例如，對例3.1.5執(zhí)行以下m-文件，可得能控性矩陣的秩
8、=2，小于系統(tǒng)的階數(shù)3，故系統(tǒng)是不能控的。；；線性時變系統(tǒng)的能控性判據定理3-2（P74定理3.1.2）線性連續(xù)時變系統(tǒng)、在區(qū)間內，狀態(tài)完全能控的充要條件是能控性矩陣為非奇異，即定義Gramian矩陣（3-4）根據能控性定義，令左乘即得：另一方面，（3-4）兩邊右乘等式左邊，右邊考慮到與積分變量無關可以放到積分號下，得到關系式16《現(xiàn)代控制理論》講義第3章能控性與能觀性分
