非線性物理——混沌

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1、非線性物理——混沌引言非線性是在自然界廣泛存在的自然規(guī)律，相對(duì)于我們熟悉的線性要復(fù)雜得多。隨著物理學(xué)研究的不斷深入，非線性問題逐漸被重視起來，現(xiàn)已出現(xiàn)了多個(gè)分支，混沌便是其中之一?；煦绗F(xiàn)象在生活中廣泛存在，如著名的蝴蝶效應(yīng)、湍流、昆蟲繁衍等[1]。要直觀地演示混沌現(xiàn)象，采用非線性電路是一個(gè)非常好的選擇。能產(chǎn)生混沌現(xiàn)象的自治電路至少滿足以下三個(gè)條件[2]：1）有一個(gè)非線性元件，2）有一個(gè)用于耗散能量的電阻，3）有三個(gè)存儲(chǔ)能量的元件。如圖1所示的蔡氏電路（Chua'scircuit）[3,4]是一個(gè)符合上述條件、非常簡潔的非線性電路，由華裔物理學(xué)家蔡紹棠（LeonO.Chua）教授于19

2、83年提出并實(shí)現(xiàn)。近年來，非線性電路的研究領(lǐng)域有了長足進(jìn)展，新的混沌與超混沌電路[5]的理論設(shè)計(jì)與硬件實(shí)現(xiàn)等問題備受人們關(guān)注。如Chen氏電路[6]、Colpitts振蕩電路[7]、基于SETMOS的細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的蔡氏電路[8]，都能用于研究混沌現(xiàn)象，并有不同的應(yīng)用領(lǐng)域。實(shí)驗(yàn)原理在眾多的非線性電路中，蔡氏電路因其結(jié)構(gòu)簡單、現(xiàn)象明晰，成為教學(xué)實(shí)驗(yàn)中讓學(xué)生接觸、了解混沌現(xiàn)象的最佳選擇，大量基于蔡氏電路的實(shí)驗(yàn)儀器[9-11]被廣泛應(yīng)用于高校實(shí)驗(yàn)教學(xué)。蔡氏電路（如圖一所示）的主要元件有可調(diào)電阻R（電路方程中以電導(dǎo)G=1/R做參數(shù)，以下方程求解過程都用G來表示，而涉及實(shí)驗(yàn)的內(nèi)容采用R表示）

3、、電容C1和C2、電感L以及非線性負(fù)阻Nr。它的運(yùn)行狀態(tài)可以用以下方程組來描述：(1)-10-其中U1為C1（或負(fù)阻Nr）兩端的電壓，U2為C2（或L）兩端的電壓，IL為通過L的電流，Error!Nobookmarknamegiven.g(U)為非線性負(fù)阻的I-V特性函數(shù)，其表達(dá)式為：(2)式中各參數(shù)和變量的具體意義間圖3。從g(U)的表達(dá)式看出，g(U)分三段，且每段都是線性的，所以我們可以將求解分三個(gè)區(qū)間來進(jìn)行。由于兩側(cè)區(qū)間基本對(duì)稱，可以一并求解。圖1：蔡氏電路示意圖U1、U2、IL構(gòu)成一個(gè)三維的狀態(tài)空間，稱為相空間，相空間的狀態(tài)點(diǎn)記為?；煦鐚?shí)驗(yàn)儀中一般演示X點(diǎn)的相軌跡在U1-U

4、2平面的二維投影，可用雙蹤示波器的X-Y模式來觀察，即常說的李薩如圖形。在每個(gè)區(qū)間內(nèi)，方程(1)都可以改寫成如下形式的線性方程：(3)其中X(t)、b為三維矢量，A為三階矩陣。方程(3)在時(shí)的解即為相空間的不動(dòng)點(diǎn)XQ，。原方程組的解即可寫為線性齊次方程的通解與不動(dòng)點(diǎn)特解XQ的和。方程(3)的本征值方程為

5、λI-A

6、=0，若A存在三個(gè)本征值λ1、λ2、λ3，齊次方程的解即為：(4)其中ξi為λi對(duì)應(yīng)的本征向量，ci由初始狀態(tài)X0決定。在有些情況下，A有一個(gè)實(shí)本征值γ和一對(duì)共軛的復(fù)本征值σ±iω，方程的解可以寫成：-10-(5)式中ξγ是實(shí)本征值對(duì)應(yīng)的本征向量，ηr±iηi是共軛的復(fù)本征

7、值對(duì)應(yīng)的本征向量。fc、cr、cc由初始狀態(tài)決定。綜上所述，蔡氏電路方程組的解為：(6)我們把實(shí)本征向量ξγ方向標(biāo)記為Er，把ηr和ηi張成的平面記為Ec。齊次方程解的獨(dú)立分量xr(t)在Er方向，xc(t)在平面Ec內(nèi)。方程的解隨著時(shí)間演化具有如下性質(zhì)：如果γ<0，xr(t)指數(shù)衰減到0；如果γ>0，xr(t)沿著Er方向指數(shù)增長。由此可見，對(duì)于任何一條相軌跡X(t)，Er方向上的分量恒正或恒負(fù)，所以它始終都無法穿越Ec平面（圖Error!Bookmarknotdefined.、Error!Bookmarknotdefined.）。如果σ>0且ω≠0，則xc(t)在Ec平面內(nèi)螺旋離

8、開不動(dòng)點(diǎn)XQ；若σ<0，xc(t)在Ec平面內(nèi)螺旋收縮到不動(dòng)點(diǎn)XQ。這些性質(zhì)在進(jìn)行每個(gè)區(qū)域分析時(shí)都非常有用。非線性負(fù)阻的結(jié)構(gòu)[9]如圖2所示，由兩個(gè)封裝在一起的運(yùn)算放大器（雙運(yùn)算放大器集成電路FL353N）和6個(gè)定值電阻（R1=3.3kΩ、R2=R3=22kΩ、R4=2.2kΩ、R5=R6=220Ω，精度1%）構(gòu)成，輸入電源電壓±15V。理想的非線性負(fù)阻具有如圖3所示的I-V特性，被±E拆分為上中下三個(gè)區(qū)域，在各個(gè)區(qū)域都是線性函數(shù)，分段函數(shù)的斜率依次為Gb、Ga、Gb，且滿足Ga

9、4Ω-1，Gb=1/R3-1/R4=(-4.09±0.06)×10-4Ω-1。圖2：非線性負(fù)阻的內(nèi)部結(jié)構(gòu)-10-圖3：理想非線性負(fù)阻I-V特性（示意圖）實(shí)驗(yàn)內(nèi)容一、各種混沌現(xiàn)象的觀測(cè)用圖1所示的方法，調(diào)節(jié)可調(diào)電阻R，觀察單周期、雙周期、陣發(fā)混沌、三周期、單吸引子、雙吸引子等相圖，并記錄各種相圖對(duì)應(yīng)的U1,U2的信號(hào)特點(diǎn)。二、測(cè)量非線性負(fù)阻的I-Ｖ特性1、用如圖4所示的方法，用信號(hào)發(fā)生器驅(qū)動(dòng)，分別在30Hz，300Hz和3.3kHz等頻率測(cè)量非線性負(fù)阻的I-