復(fù)數(shù)在電工中的簡單應(yīng)

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1、第10講---復(fù)數(shù)在電工中的簡單應(yīng)用1.正弦量的瞬時表達(dá)式2.正弦量的相量表達(dá)式3.RLC串聯(lián)電路中的復(fù)阻抗4.復(fù)功率1學(xué)習(xí)目標(biāo)1．掌握正弦量的復(fù)數(shù)表示形式，并進(jìn)行計算；2．會運(yùn)用復(fù)功率計算有功功率、無功功率和視在功率的計算；2重點(diǎn)難點(diǎn)1．正弦量的復(fù)數(shù)表示形式；2．復(fù)功率的計算。復(fù)功率的計算31.正弦量的瞬時表達(dá)式在線性正弦交流電路中，正弦交流電是指隨時間按正弦規(guī)律變化的電流和電壓,它的瞬時表達(dá)式就是使用三角函數(shù)的形式表示正弦交流電變化的規(guī)律。例如正弦交流電壓u(t)=Umsin(ωt+φ)在直角坐標(biāo)系上是一條隨時間變

2、化的正弦曲線,其中Um為幅值，ω為角頻率，φ為初相角，三者構(gòu)成了正弦量的三要素。42.正弦量的相量表達(dá)式由于利用瞬時表達(dá)式表示交流電量比較煩瑣，尤其在分析計算交流電路時，一般要解微積分方程，十分不便。為使表示方法和求解電路簡便，引入相量表示方法。相量表示是從復(fù)數(shù)表示和計算中引申出來的。我們現(xiàn)在就試圖用復(fù)數(shù)的形式來表示正弦量。5一個正弦量由三要素來確定，分別是頻率、幅值和初相。因?yàn)樵谕粋€正弦交流電路中，電動勢、電壓和電流均為同頻率的正弦量，即頻率是已知或特定的，可以不必考慮。只需確定正弦量的幅值(或有效值)和初相位就可

3、表示正弦量。而一個復(fù)數(shù)的四種表達(dá)方式均要用兩個量來描述。不妨用它的模代表正弦量的幅值或有效值，用幅角代表正弦量的初相，于是得到一個表示正弦量的復(fù)數(shù)，這就是正弦量的相量表示法。6相量表示方法為：用復(fù)數(shù)的模值對應(yīng)地表示正弦量的振幅(或有效值)；用復(fù)數(shù)的幅角對應(yīng)地表示正弦量的初相，任何一個正弦量都可以對應(yīng)這樣的一個復(fù)數(shù)，而我們就把這個與正弦量相對應(yīng)的復(fù)數(shù)稱為正弦量的相量，簡稱相量。換句話說正弦量的相量就是特指用復(fù)數(shù)來表示的、與正弦量具有一一對應(yīng)關(guān)系的復(fù)數(shù)。為了區(qū)別與一般復(fù)數(shù)的不同，相量頭頂要帶上標(biāo)記“·”，如。一個正弦量的相

4、量，就是在給定角頻率ω條件下，用它的有效值（也可用最大值）和初相角這兩個要素來表示的量。在概念上關(guān)于相量應(yīng)明確如下幾點(diǎn)：7(1)正弦量的相量，用有效值和初相角表示時，稱為有效值相量；用最大值和初相角表示時，稱為最大值相量或振幅相量。(2)所謂相量法是用相量這一特殊復(fù)數(shù)來表示正弦量，從而將正弦量的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)運(yùn)算的方法。正弦量的相量不僅僅是時間t的函數(shù)，還是一個復(fù)數(shù)。(3)將正弦量用相量表示實(shí)質(zhì)上是一種數(shù)學(xué)變換。一個相量可以充分表達(dá)正弦量的三要素，只是由于電路中各量的頻率相同而省掉了頻率而已。相量僅為正弦量的一種表示方

5、法，相量并不等于正弦量。(4)引入相量法的目的是為了簡化正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析計算，相量只能用來進(jìn)行同頻率正弦電源電路的分析計算。注意，今后若不特別說明，相量均指有效值相量。8若正弦電壓為正弦電流為有效值相量是以正弦量的有效值I或U為模、初相角φ為輻角，記為最大值相量是以正弦量的最大值Im或Um為模、初相角φ為輻角，記為其中,U表示電壓有效值，Um表示電壓最大值或振幅,I表示電壓有效值，Im表示電壓最大值或振幅9例1:已知對稱三相正弦電壓可表示為：試證明其相量之和恒等于零。（教材P85第8題）證明：因?yàn)殡妷旱南嗔糠謩e為講解

6、例題10例2:請寫出正弦量u=311sin(314t?30°)V，i=4.24sin(314t?45°)A相量形式。解：(1)正弦電壓u的有效值為U=0.7071?311=220V初相角為φ=30°所以其相量為(2)正弦電流i的有效值為=0.7071?4.24=3A初相角為φ=-45°所以其相量為講解例題11講解例題例3：如圖所示為電路中的一個節(jié)點(diǎn)，已知，試求i3。解：電流i1、i2對應(yīng)的相量形式分別為所以而即12復(fù)數(shù)形式的電阻和電抗稱為復(fù)阻抗。相量分析法中的復(fù)阻抗的模對應(yīng)正弦交流電路中的電阻和電抗，例如單一電阻元件電

7、路的復(fù)阻抗為R，是一個只有實(shí)部沒有虛部的復(fù)數(shù)；單一電感元件電路的復(fù)阻抗是jXL，是沒有實(shí)部，只有正值虛部的復(fù)數(shù)；單一電容元件電路的復(fù)阻抗是－jXC，是沒有實(shí)部，只有負(fù)值虛部的復(fù)數(shù)。復(fù)阻抗的模值對應(yīng)正弦交流電路的阻抗；復(fù)阻抗的幅角對應(yīng)正弦交流電路中電壓與電流的相位差角。。3.RLC串聯(lián)電路中的復(fù)阻抗13電路中的容抗為電路中的感抗為RLC串聯(lián)電路中的復(fù)阻抗為其中ω為角頻率，ｆ為頻率，14講解例題例4：如圖所示，已知R＝100Ω，L＝0.5H，f=50Hz，C=30μF，計算總復(fù)阻抗Z和總阻抗｜Z

8、,并把結(jié)果化為復(fù)數(shù)的三角形

9、式。(教材P76例14）～解：所以總阻抗為由得，代入得15講解例題例5：一個100μF的電容器接在電壓為10V的正弦電源上，當(dāng)電源頻率為50Hz時，試寫出電容元件中電流的瞬時值表達(dá)式。解：當(dāng)f=50Hz時，容抗為由題意得，電源電壓的有效值表示為故所以即16講解例題例6：如圖所示電阻、電感串聯(lián)電路中，已知正弦電流試求uR、uL、u。