古典概型與幾何概型

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1、考綱要求考綱研讀1.古典概型(1)理解古典概型及其概率計(jì)算公式．(2)會(huì)用列舉法計(jì)算一些隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．2．隨機(jī)數(shù)與幾何概型(1)了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運(yùn)用模擬方法估計(jì)概率．(2)了解幾何概型的意義.1.古典概型的概率等于所求事件中所含的基本事件數(shù)與總的基本事件數(shù)的比值．2.幾何概型的關(guān)鍵之處在于將概率問(wèn)題轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)度，面積或體積之比.第2講古典概型與幾何概型1．古典概型的定義(1)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果(基本事件)只有_______．有限個(gè)(2)每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果(基本事件)出現(xiàn)的可能性______．我們把具有以上這兩個(gè)特征的隨機(jī)試驗(yàn)

2、的數(shù)學(xué)模型稱(chēng)為古典概型．2．古典概型的計(jì)算公式對(duì)于古典概型，若試驗(yàn)的所有基本事件數(shù)為n，隨機(jī)事件A包含的基本事件數(shù)為m，那么事件A的概率為P(A)＝___.相等mnP(A)＝3．幾何概型的定義長(zhǎng)度體積如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的______(____或_____)成比例，則這樣的概率模型稱(chēng)為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱(chēng)幾何概型．4．幾何概型的特點(diǎn)無(wú)限不可數(shù)(1)試驗(yàn)的結(jié)果是_______________的．(2)每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性_____．5．幾何概型的概率公式構(gòu)成事件A的區(qū)域長(zhǎng)度(面積或體積)區(qū)域的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度(面積或體積).面

3、積相等DCC圖15－2－1考點(diǎn)1古典概型例1：先后隨機(jī)投擲2枚正方體骰子，其中x表示第1枚　　骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，y表示第2枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)．(1)求點(diǎn)P(x，y)在直線(xiàn)y＝x－1上的概率；(2)求點(diǎn)P(x，y)滿(mǎn)足y2<4x的概率．計(jì)算古典概型事件的概率可分為三步：①算出基本事件的總個(gè)數(shù)n；②求出事件A所包含的基本事件個(gè)數(shù)m；③代入公式求出概率P.【互動(dòng)探究】1．(2011年廣東揭陽(yáng)二模)已知集合A＝{－2,0,2}，B＝{－1,1}，設(shè)M＝{(x，y)

4、x∈A，y∈B}，在集合M內(nèi)隨機(jī)取出一個(gè)元素(x，y)．(1)求以(x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)落在圓x2＋

5、y2＝1上的概率；解：(1)集合M的所有元素有(－2，－1)，(－2,1)，(0，－1)，(0,1)，(2，－1)，(2,1)共6個(gè)．記“以(x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)落在圓x2＋y2＝1上”為事件A，則基本事件總數(shù)為6.因落在圓x2＋y2＝1上的點(diǎn)有(0，－1)，(0,1)2個(gè)，即A包含的基本事件數(shù)為2.(2)記“以(x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)位于區(qū)域D內(nèi)”為事件B.則基本事件總數(shù)為6.圖D39由圖D39知位于區(qū)域D內(nèi)(含邊界)的點(diǎn)有：(－2，－1)，(2，－1)，(0，－1)，(0,1)共4個(gè)，即B包含的基本事件數(shù)為4.考點(diǎn)2幾何概型例2：(2011年廣東珠海模

6、擬節(jié)選)甲、乙兩人約定上午9點(diǎn)至12點(diǎn)在某地點(diǎn)見(jiàn)面，并約定任何一個(gè)人先到之后等另一個(gè)人不超過(guò)一個(gè)小時(shí)，一小時(shí)之內(nèi)如對(duì)方不來(lái)，則離去．如果他們二人在8點(diǎn)到12點(diǎn)之間的任何時(shí)刻到達(dá)約定地點(diǎn)的概率都是相等的，求他們見(jiàn)到面的概率．圖D38幾何概型的關(guān)鍵在于構(gòu)造出隨機(jī)事件A所對(duì)應(yīng)的幾何圖形，利用幾何圖形的度量來(lái)求隨機(jī)事件的概率，根據(jù)實(shí)際情況，合理設(shè)置參數(shù)，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，在此基礎(chǔ)上，將試驗(yàn)的每一個(gè)結(jié)果一一對(duì)應(yīng)于坐標(biāo)系的點(diǎn)，便可構(gòu)造出度量區(qū)域．【互動(dòng)探究】A考點(diǎn)3兩種概型的綜合運(yùn)用例3：(2010年惠州調(diào)研)已知關(guān)于x的二次函數(shù)f(x)＝ax2－2bx＋8.(

7、1)設(shè)集合P＝{1,2,3}和Q＝{2,3,4,5}，分別從集合P和Q中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為a和b，求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(－∞，2]上有零點(diǎn)且是減函數(shù)的概率；(2)若a是從區(qū)間[1,3]任取的一個(gè)數(shù)，b是從區(qū)間[2,5]任取的一個(gè)數(shù)，求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(－∞，2]上有零點(diǎn)且是減函數(shù)的概率．解題思路：這個(gè)題的兩問(wèn)分別考查的是古典概型和幾何概型問(wèn)題，又聯(lián)合了一元二次方程根的分布問(wèn)題．解析：(1)分別從集合P和Q中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為a和b，基本事件有如下12個(gè)：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5

8、)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)．(2)基本事件所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)镸＝{(a，b)

9、1≤a≤3,2≤b≤5}．由(1)知構(gòu)成事件“函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(－∞，2]上有零點(diǎn)且是減函數(shù)”的區(qū)域?yàn)镹＝{(a，b)

10、1≤a≤3,2≤b≤5，且b≥2a，a－b≤－2}．這題屬于古典概型與幾何概型的一個(gè)典型的題目，融合了函數(shù)的零點(diǎn)知識(shí)(一元二次方程根的分布問(wèn)題)．【互動(dòng)探究】3.(2011年廣東廣州執(zhí)信中學(xué)三模)已知兩實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足0≤x≤2,1≤y≤3.(1)若x，y∈N，求使不等式2x－y＋2>0成立的概率；(2)若x，y∈R，求使不等式2x

11、－y＋2>0不成立的概率．(2)設(shè)“使不等式2x－y＋2>0不成立”也即“使不等式2x－y＋2≤0成立”為事