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《立體幾何初步1.4空間圖形的基本關(guān)系與公理第2課時(shí)空間圖形的公理4及等角定理學(xué)案北師大版必修2》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、第2課時(shí) 空間圖形的公理4及等角定理1.掌握公理4和“等角定理”.(重點(diǎn))2.理解異面直線所成的角及直線與直線垂直的定義.(重點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn))3.會(huì)求異面直線所成的角.(難點(diǎn))[基礎(chǔ)·初探]教材整理1 公理4閱讀教材P25“公理4”部分，完成下列問題.1.條件：兩條直線平行于同一條直線.2.結(jié)論：這兩條直線平行.3.符號(hào)表述：?a∥c.已知a，b是平行直線，直線c∥直線a，則c與b( )A.不平行B.相交C.平行D.垂直【解析】 若c∥b，則a∥b，與已知矛盾，因而c不與b平行.【答案】 C教材整理2 等角定理閱讀教材P26“等角
2、定理”部分內(nèi)容，完成下列問題.1.條件：空間中，如果兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行.2.結(jié)論：這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).空間中一個(gè)角A的兩邊分別與另一個(gè)角B的兩邊對(duì)應(yīng)平行，若A＝70°，則B＝______.【解析】 若A的兩邊與B的兩邊方向均相同或均相反，則B＝70°；若兩個(gè)角的一組邊方向相同，另一組方向相反，則B＝110°.【答案】 70°或110°教材整理3 異面直線所成的角閱讀教材P26有關(guān)部分，完成下列問題.9定義過空間任意一點(diǎn)P分別引兩條異面直線a，b的平行線l1，l2(a∥l1，b∥l2)，這兩條相交直線所成的銳角(或直角)就
3、是異面直線a，b所成的角取值范圍異面直線所成的角θ的取值范圍：特例當(dāng)θ＝時(shí)，a與b互相垂直，記作a⊥b在正方體ABCDA1B1C1D1中，直線AA1與BC1所成的角的大小為________.【解析】 ∵BB1∥AA1，∴∠B1BC1為直線AA1與BC1所成的角，其大小為45°.【答案】 45°[小組合作型]公理4的應(yīng)用 如圖1411，已知E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn).圖1411(1)求證：四邊形EFGH是平行四邊形；(2)若四邊形EFGH是矩形，求證：AC⊥BD.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：3929202
4、0】【精彩點(diǎn)撥】 (1)先證明它是一個(gè)平面四邊形，再用平行四邊形的判定定理證明.(2)若四邊形EFGH是矩形，則EH⊥GH，從而推知AC⊥BD.【自主解答】 (1)如題圖，在△ABD中，∵EH是△ABD的中位線，∴EH∥BD，EH＝BD.又FG是△CBD的中位線，9∴FG∥BD，F(xiàn)G＝BD，∴FG∥EH，∴E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面，又FG＝EH，∴四邊形EFGH是平行四邊形.(2)由(1)知EH∥BD，同理AC∥GH.又∵四邊形EFGH是矩形，∴EH⊥GH，∴AC⊥BD.空間中證明兩直線平行的方法：(1)借助平面幾何知識(shí)證明，如三
5、角形中位線性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、用成比例線段證平行等.(2)利用公理4證明，即證明兩直線都與第三條直線平行.[再練一題]1.已知在棱長為a的正方體ABCDA′B′C′D′中，M，N分別為CD，AD的中點(diǎn).圖1412求證：四邊形MNA′C′是梯形.【證明】 連接AC(圖略).∵M(jìn)，N為CD，AD的中點(diǎn)，∴MNAC.由正方體性質(zhì)可知ACA′C′，∴MNA′C′，∴四邊形MNA′C′是梯形.等角定理的應(yīng)用 如圖1413，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，M1分別是棱AD和A1D1的中點(diǎn).圖14139(1)求證：四邊形BB1M1
6、M為平行四邊形；(2)求證：∠BMC＝∠B1M1C1.【精彩點(diǎn)撥】 (1)利用公理4進(jìn)行平行之間的轉(zhuǎn)化，得到平行關(guān)系.(2)利用等角定理證明兩角相等.【自主解答】 (1)∵ABCDA1B1C1D1為正方體，∴ADA1D1，又M，M1分別為棱AD，A1D1的中點(diǎn)，∴AMA1M1，∴四邊形AMM1A1為平行四邊形，∴MM1AA1.又AA1＝BB1且AA1∥BB1，∴MM1BB1，∴四邊形BB1M1M為平行四邊形.(2)法一：由(1)知四邊形BB1M1M為平行四邊形，∴B1M1∥BM.同理可得四邊形CC1M1M為平行四邊形，∴C1M1
7、∥CM.由平面幾何知識(shí)可知，∠BMC和∠B1M1C1都是銳角，∴∠BMC＝∠B1M1C1.法二：由(1)知四邊形BB1M1M為平行四邊形，∴B1M1＝BM.同理可得四邊形CC1M1M為平行四邊形，∴C1M1＝CM.又∵B1C1＝BC，∴△BCM≌△B1C1M1，∴∠BMC＝∠B1M1C1.1.空間等角定理實(shí)質(zhì)上是由以下兩個(gè)結(jié)論組成的：①若一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行且方向都相同或相反，那么這兩個(gè)角相等；②若一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，有一組對(duì)邊方向相同，另一組對(duì)邊方向相反，那么這兩個(gè)角互補(bǔ).2.證明角相等，
8、一般采用以下途徑(1)利用等角定理；(2)利用三角形相似；(3)利用三角形全等.9[再練一題]2.在正方體ABCDA1B1C1D1中，P，Q，M，N分別為AD，AB，C1D1，B1C1的中點(diǎn)，求證：A1P∥CN，A1Q∥CM，且∠PA1Q＝∠MCN.圖1414【
