資源描述:
《高中數(shù)學(xué)第二章數(shù)列2.1.2數(shù)列的遞推公式(選學(xué))學(xué)案新人教b版必修5》由會(huì)員上傳分享,免費(fèi)在線閱讀,更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、2.1.2 數(shù)列的遞推公式(選學(xué))1.體會(huì)遞推公式是數(shù)列的一種表示方法.2.理解遞推公式的含義,能夠根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng).3.掌握由一些簡單的遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式.1.?dāng)?shù)列的遞推公式如果已知數(shù)列的______(或前幾項(xiàng)),且從第二項(xiàng)(或某一項(xiàng))開始的________與它的前一項(xiàng)________(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示,那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的______公式.(1)與所有的數(shù)列不一定都有通項(xiàng)公式一樣,并不是所有的數(shù)列都有遞推公式.(2)遞推公式也是給出數(shù)列的一種重要方法.事實(shí)上,遞推公式與通項(xiàng)公式一樣,都是
2、關(guān)于n的恒等式,我們可用符合要求的正整數(shù)依次去替換n,從而可以求出數(shù)列的各項(xiàng).【做一做1】數(shù)列2,4,6,8,10,…的遞推公式是( ).A.a(chǎn)n=an-1+2(n≥2)B.a(chǎn)n=2an-1(n≥2)C.a(chǎn)n=an-1+2,a1=2(n≥2)D.a(chǎn)n=2an-1,a1=2(n≥2)2.通項(xiàng)公式與遞推公式的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別聯(lián)系通項(xiàng)公式項(xiàng)an是序號(hào)n的函數(shù)式an=f(n)都是給出數(shù)列的方法,可求出數(shù)列中任意一項(xiàng)遞推公式已知a1(或前幾項(xiàng))及相鄰項(xiàng)(或相鄰幾項(xiàng))間的關(guān)系式【做一做2-1】已知在數(shù)列{an}中,a1=2,an=an-1+2(n≥2
3、),則{an}的通項(xiàng)公式是( ).A.3nB.2nC.nD.n【做一做2-2】在數(shù)列{an}中,a1=1,a2=2,且an+1-an=1+(-1)n(n≥2),則a10=________.一、通項(xiàng)公式與遞推公式剖析:遞推公式是:已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng)),且從第二項(xiàng)(或某一項(xiàng))開始的任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an-1(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示,那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.通項(xiàng)公式是:一個(gè)數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與項(xiàng)數(shù)n之間的關(guān)系,如果可以用一個(gè)公式an=f(n)來表示,我們就把這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式
4、.通項(xiàng)公式反映的是項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系,而遞推公式反映的是相鄰兩項(xiàng)(或幾項(xiàng))之間的關(guān)系.對(duì)于通項(xiàng)公式,只要將公式中的n3依次取值1,2,3,…即可得到相應(yīng)的項(xiàng);而遞推公式則要已知首項(xiàng)(或前幾項(xiàng)),才可求得其他的項(xiàng).往往我們要利用各種方法將遞推公式轉(zhuǎn)化為通項(xiàng)公式,通項(xiàng)公式能夠更直接地研究數(shù)列.遞推公式也是給出數(shù)列的一種重要方法,有時(shí)并不一定要知道數(shù)列的通項(xiàng)公式,只要知道數(shù)列的遞推公式,即可解決問題,有的遞推公式與通項(xiàng)公式之間也可以進(jìn)行互化.二、教材中的“?”(1)你能猜想出例1中這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式嗎?剖析:數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=.(2
5、)你能比較例2中an與an+1的大小嗎?你能比較an與an+2的大小嗎?剖析:不能比較an+1與an的大?。?dāng)n為奇數(shù)時(shí),an+2>an;當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),an+2<an.題型由遞推公式求通項(xiàng)公式【例】已知數(shù)列{an},a1=1,an=an-1+(n≥2).(1)寫出數(shù)列{an}的前5項(xiàng);(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.分析:(1)中只需利用代入法依次求出a2,a3,a4,a5即可;(2)利用下列關(guān)系式①an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1;②=-.進(jìn)行累加與裂項(xiàng)相消即可求出{an}的通項(xiàng)
6、公式.反思:(1)根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng),要弄清楚公式中各部分的關(guān)系,依次代入計(jì)算即可.另外,解答這類問題時(shí)還需注意:若知道的是首項(xiàng),通常將所給公式整理成用前面的項(xiàng)表示后面的項(xiàng)的形式;若知道的是末項(xiàng),通常將所給公式整理成用后面的項(xiàng)表示前面的項(xiàng)的形式.(2)累加法當(dāng)an-an-1=f(n)滿足一定條件時(shí),常用an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1累加來求通項(xiàng)公式an.1下列說法錯(cuò)誤的是( ).A.遞推公式也是數(shù)列的一種表示方法B.a(chǎn)n=an-1,a1=1(n≥2)是遞推公式C.給出數(shù)列的方法只有圖
7、象法、列表法、通項(xiàng)公式D.a(chǎn)n=2an-1,a1=2(n≥2)是遞推公式2已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1,且an=3an-1+1(n≥2),則a4為( ).A.13B.15C.30D.403已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)是1,第2項(xiàng)是2,以后各項(xiàng)由an=an-1+an-2(n>2)給出,則該數(shù)列的第5項(xiàng)等于( ).3A.6B.7C.8D.94一個(gè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1,a2=2,從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)等于它的前一項(xiàng)的2倍再加上后一項(xiàng),請(qǐng)寫出構(gòu)成這個(gè)數(shù)列的遞推公式an=________________.5已知數(shù)列{an}滿足=n(n為正整數(shù)),
8、且a2=6,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=________.答案:基礎(chǔ)知識(shí)·梳理1.第1項(xiàng) 任一項(xiàng)an an-1 遞推【做一做1】C【做一做2-1】B【做一做2-2】10 由題意,知a10-