banach空間中常微分方程解的存在與唯一性定理

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1、.空間中常微分方程解的存在唯一性定理魏婷婷(天水師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,甘肅,天水,741000)摘要:在空間中,常微分方程解的存在唯一性定理中,初值問題的解的變量在上變化,把的變化范圍擴(kuò)大為,為此給出變化范圍后的空間中常微分方程解的存在唯一性定理,并對定理給予明確的證明.關(guān)鍵詞:存在唯一;常微分方程;數(shù)學(xué)歸納法;皮卡逐步逼近法;空間引言常微分方程解的存在唯一性定理明確地肯定了在一定條件下方程的解的存在性和唯一性,它是常微分方程理論中最基本且實(shí)用的定理,有其重大的理論意義,另一方面,它也是近似求解法的前提和理論基礎(chǔ).對于人們熟知的空間中常微分方程解的存在唯一性定理,解的存在區(qū)間較小,

2、只限制在一個(gè)小的球形鄰域內(nèi),(球形鄰域的半徑若為,還需滿足,且解只在以為中心以為半徑的閉球存在唯一,其中是空間)因此在應(yīng)用過程中受到了一定的限制.如今我們嘗試擴(kuò)大了解的存在范圍,從而使此重要的定理今后有更加廣泛的應(yīng)用.1預(yù)備定理我們給出空間中常微分方程解的存在唯一性定理如下設(shè)是空間,是一個(gè)開集.上關(guān)于滿足利普希茨條件,即存在常數(shù),使得不等式,對于所有都成立.取,在內(nèi),以為中心作一個(gè)半徑為的閉球,對所有的都成立,且有,取,則存在唯一的曲線,使得在上滿足,并有,.-..2結(jié)果與證明筆者通過改進(jìn)對的限制,即僅取,預(yù)備定理仍然成立,從而使定理的應(yīng)用進(jìn)一步廣泛.2.1改進(jìn)條件后的定理定理假設(shè)條

3、件同上預(yù)備定理,設(shè)初值為,則存在唯一的曲線,對任意的,滿足,且使得,.顯然可有,且.2.2定理的證明證明證明過程中我們利用皮卡逐步逼近法.為了簡單起見,只就區(qū)間進(jìn)行討論,對于區(qū)間的討論完全一樣.2.2.1定理證明的思想現(xiàn)在先簡單敘述一下運(yùn)用皮卡逐步逼近法證明的主要思想.首先證明條件,等價(jià)于求積分方程.(1)再證明積分方程的解的存在唯一性.任取一個(gè)為連續(xù)函數(shù),將它代入方程(1)的右端,可得到函數(shù),顯然,也為連續(xù)函數(shù).若,則可知就是方程(1)的解.若不然,我們又把代入積分方程(1)的右端,可得到函數(shù).若,則可知就是方程(1)的解.若不然,我們?nèi)绱讼氯?可作連續(xù)函數(shù),.(2)這樣就得到連續(xù)

4、函數(shù)列-..若,那么就是積分方程的解,如果始終不發(fā)生這種情況,我們可以證明上面的函數(shù)序列有一個(gè)極限函數(shù),即存在,因而對(2)式兩邊取極限時(shí),就得到,即,這就是說,是積分方程的解.在定理的假設(shè)條件下,以上的步驟是可以實(shí)現(xiàn)的.2.2.2定理證明的步驟下面我們分五個(gè)命題來證明定理.命題1設(shè)是的定義于區(qū)間上,滿足初值條件(3)的解,則是積分方程定義于上的連續(xù)解,反之亦然.證明因?yàn)槭欠匠痰慕?故有.對上式兩邊從到取定積分得到,,把(3)式代入上式,即有,.(4)因此,是(4)的定義于上的連續(xù)解.反之,如果是(4)的連續(xù)解,,.微分之,得到.又把代入(4)式,得到,因此,是方程的定義于區(qū)間,且滿

5、足初值條件(3)的解.命題1證畢.-..現(xiàn)在取,構(gòu)造皮卡逐步逼近函數(shù)序列如下(5)命題2對于所有的,(5)中函數(shù)在上有定義,連續(xù)且滿足不等式.證明用數(shù)學(xué)歸納法可以證明,如下,對于任意,,當(dāng)時(shí),,顯然在上有定義,連續(xù)且有.設(shè)當(dāng)時(shí)有,也即在上有定義,連續(xù)且滿足不等式,這時(shí).由假設(shè),命題2當(dāng)時(shí)成立,則可知在上有定義,連續(xù)且有當(dāng)時(shí),即命題2當(dāng)時(shí)也成立,從而得知命題2對于所有的均成立.命題2證畢.命題3函數(shù)序列在上是一致收斂的.證明我們考慮級(jí)數(shù),,(6)(6)式級(jí)數(shù)的部分和為,因此,要證明函數(shù)序列在上一致收斂,我們僅證明級(jí)數(shù)(6)在上一致收斂.因此,我們可進(jìn)行如下計(jì)算,由,(7)及-..,利用

6、利普希茨條件及(7)式可知對于任意的為正整數(shù),不等式成立.則由利普希茨條件,當(dāng)時(shí),有為此,由數(shù)學(xué)歸納法可知,對于所有的正整數(shù),可有如下的式子成立,,.因此可有,當(dāng),(8)(8)式右端為收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù)的一般項(xiàng).由魏爾斯特拉斯判別法,級(jí)數(shù)(6)在上是一致收斂的,因此序列也在上一致收斂,命題3證畢.現(xiàn)設(shè),為此也在上連續(xù),且由命題2又可知,命題4是積分方程的定義在區(qū)間上的連續(xù)解.證明由利普希茨條件以及在上一致收斂于,且函數(shù)列逐項(xiàng)連續(xù),即知序列在-..上一致收斂于.因而對(5)式兩邊取極限,得到即,這就是說,是積分方程的定義于上的連續(xù)解.命題4證畢.命題5(證明解的唯一性)設(shè)是積分方程定義于上

7、的另一個(gè)連續(xù)解,則,.證明現(xiàn)在我們證明也是序列的一致收斂極限函數(shù).為此,從,,,可以進(jìn)行如下的估計(jì),現(xiàn)在我們可以假設(shè),則有故由數(shù)學(xué)歸納法得知,對于所有的正整數(shù),有下面的估計(jì)式,于是我們可知在上有,(9)是收斂級(jí)數(shù)的公項(xiàng),且當(dāng)時(shí),.-..因而在上一致收斂于.根據(jù)極限的唯一性,即可知,.命題5證畢.綜合命題1～5,即得到空間中常微分方程解的存在唯一性定理的證明.例題求初值問題其中:,的解的存在區(qū)間,并求第二次近似解,給出在解的存在區(qū)間的誤差估計(jì).解則利用本文的