常微分方程解的存在唯一性定理.pdf

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1、.常微分方程解的存在唯一性定理一階微分方程（1）其中是在矩形域上的連續(xù)函數(shù)。定義1如果存在常數(shù)，使得不等式對于所有都成立，則函數(shù)稱為在上關(guān)于滿足Lipschitz條件。定理1如果在上連續(xù)且關(guān)于滿足Lipschitz條件，則方程(1)存在唯一的解，定義于區(qū)間上，連續(xù)且滿足初始條件，這里，。Picard逐步逼近法來證明這個定理的主要思想。首先證明求微分方程的初值問題的解等價于求積分方程的連續(xù)解。然后去證明積分方程的解的存在唯一性。任取一個連續(xù)函數(shù)代入上面積分方程右端的,就得到函數(shù)，顯然也是連續(xù)函數(shù)，如果,0/3.那末就是積

2、分方程的解。否則,我們又把代入積分方程右端的，得到，如果，那末就是積分方程的解。否則我們繼續(xù)這個步驟。一般地作函數(shù)(3.1.1.4)這樣就得到連續(xù)函數(shù)序列：，，?，，?如果，那末就是積分方程的解。如果始終不發(fā)生這種情況，我們可以證明上面的函數(shù)序列有一個極限函數(shù)，即存在，因而對(3.1.1.4)取極限時，就得到即，這就是說是積分方程的解。這種一步一步地求出方程的解的方法就稱為逐步逼近法。函數(shù)稱為初值問題的第次近似解。命題1設(shè)是方程(1)的定義于區(qū)間上，滿足初始條件的解，則是積分方程的定義于上的連續(xù)解。反之亦然。1/3.現(xiàn)

3、在取，構(gòu)造皮卡逐步逼近函數(shù)序列如下：命題2對于所有的，函數(shù)在上有定義、連續(xù)且滿足不等式。命題3函數(shù)序列在上是一致收斂的。設(shè)則也在上連續(xù)，且。命題4是積分方程的定義于上的連續(xù)解。命題5設(shè)是積分方程的定義于上的一個連續(xù)解，則，。綜合命題1—5，即得到存在唯一性定理的證明。2/3